Курсовая с практикой на тему Функция как фундаментальное понятие математики

Содержание:

Введение. 3

1.
Теоретическое положение о функции, как о фундаментальном понятии математики  5

1.1 Исторический обзор формирования
функции. 5

1.2 Определение функции в высшей математике. 8

2.
Формирование понимания функции у учащихся. 12

3. Разнообразие применения функций. 20

Заключение. 25

Список использованной литературы   27  

Введение:

К числу
основных понятий современной математики относится понятие функции, которое
прошло долгий исторический путь развития, прежде чем вошло в науку и школьный
курс математики. Функциональная линия – один из четырех основных разделов
содержательных линий школьного курса алгебры (учение о функции, учение о числе,
уравнения и неравенства, тождественные преобразования). Она пронизывает целый
курс математики. В 5-6-х классах осуществляется функциональная пропедевтика, в
7-9 классах происходит систематическое изучение функционального материала.
Затем тема «Функции» продолжает изучаться в старших классах.

Ю.М. Колягин
утверждает, что понятие функции – одно из фундаментальных математических
понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко
воплощена изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность
реальных объектов и явлений. Функции, их свойства и графики образуют основу
школьного курса математики. Вокруг функциональной линии группируется вся
современная школьная алгебра, начала математического анализа и в некоторой
степени геометрия. Специфичность данной линии заключается в ее возможности
устанавливать в обучении внутрипредметные и межпредметные связи.

Задачи по
теме «Функции» включены в основной государственный экзамен: в первой части и во
второй. Кроме того, задачи по теме исследования присутствуют и в едином
государственном экзамене.

Отметим, что,
несмотря на имеющийся положительный опыт в методике формирования понятия
функции в школьном курсе математики, учителя математики испытывают некоторые
затруднения в ее реализации на практике, недооценивают важность формирования
данного понятия и не всегда уделяют ему должное внимание.

Таким
образом, актуальность темы исследования обусловлена сложившимися к настоящему
времени противоречиями между: необходимостью качественного усвоения
обучающимися понятия функции в курсе математики общеобразовательной школы и
недостаточной разработанностью методики его формирования.

Объект
исследования: процесс обучения математике в общеобразовательной школе.

Предмет
исследования: функция как фундаментальное понятие математики.

Цель
исследования заключается в выявлении и теоретическом обосновании особенностей
функции как фундаментального понятия математики.

Задачи
исследования:

1. Представить
исторический обзор формирования функции.

2. Изучить
определение функции в высшей математике.

3.
Представить формирование понимания функции у учащихся.

4.
Представить разнообразие применения функций.

Для решения
поставленных задач будут применяться следующие методы исследования: анализ
научной и учебно-методической литературы; изучение, наблюдение и обобщение
школьной практики; анализ школьных программ, учебников и учебных пособий;
анализ учебных заданий; синтез; обобщение.

Заключение:

С помощью
функции описываются многие реальные процессы. В истории математики уточнение и
обобщение понятия «функция», появление новых видов функций было связано с
необходимостью описания вновь открытых законов природы. То есть, на уроках
алгебры целесообразно устанавливать связь функции и реальных процессов, это
будет способствовать естественному пути построения математических знаний у
учащихся.

Нами
выявлено, что понятие функции в своем историческом развитии прошло через
несколько этапов. История развития понятия функции показывает широту, сложность
и многогранность данного понятия. Над ним трудились большое количество ученых. Отдельные
примеры функций можно найти в древние эпохи. Исторически можно считать, что
некоторые математики предвидели и приблизились к современной формулировке
понятия функции. Среди них ученый из Франции Николаю Оресми, который разработал
геометрическую теорию широты форм, представляющих различные степени
интенсивности и протяженности.

Схема
изучения функциональной линии в школьном курсе математики строится с учетом
исторических аспектов развития понятия «функции». Исторический подход к понятию
функции в школьном курсе предполагает повторение в обучении основных этапов,
через которые это понятие прошло в науке.

В методике
обучения математике известны два основных направления в трактовке понятия
функции: классическое (традиционное) и современное (теоретико-множественное),
отражающее отдельные исторические этапы его развития. В рамках каждого
направления выделяется по нескольку подходов, которые отличаются выбором
определяющего (родового) понятия и соответствующей терминологии.

Несмотря на
различные формулировки определений функции в них можно выделить общие моменты:

1)  под термином «функция» по умолчанию
подразумеваются числовые функции (они и являются объектом изучения в школе);

2) термин
«переменная» используется для общего обозначения различных меняющихся величин
(признак переменности функции);

3)
подчеркивается одновременное наличие двух неравноправных переменных (x и y);

4) четко
выделен основной характерный признак функции – однозначность (в школе изучаются
лишь однозначные функции);

5)  речь не идет о каком-либо способе задания
функции (это отдельный вопрос для изучения).

Стоит
отметить, что подходить к обучению функциям нужно менее формально, максимально
используя графическое представление функции. Необходимо использовать
наглядно-образный материал, активизирующий познавательную деятельность
учащихся, повышающий их интерес и качество знаний; устанавливать связь с жизненными
представлениями учащихся.

В различных
науках и областях человеческой деятельности возникают количественные
соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.

Стоит
отметить, что именно понятие функции отражает эти зависимости, и владение ее свойствами
помогает изучению закономерностей окружающего мира. Систематическое изучение
функции как математической модели реальных процессов и явлений (инструмента
познания) элементарными средствами алгебры и с привлечением аппарата
математического анализа составляет основную задачу школьного курса математики.

Таким
образом, цель, поставленная в работе, достигнута, а задачи решены.

Фрагмент текста работы:

1. Теоретическое положение о функции, как о
фундаментальном понятии математики

1.1 Исторический обзор формирования функции

Функциональная
линия является одной из содержательных ключевых линий в школьном курсе алгебры.
Изучение функциональной линии обладает общекультурным, мировоззренческим
значением. Значительно воздействие на содержание и методику обучения функции в
школе оказали концепции педагогов-математиков Ф. Клейна, А.Я. Хинчина, А.Н.
Колмогорова, А.И. Маркушевича, А. Г. Мордковича и других.

Понятие функции
справедливо считается одним из важнейших во всей математике. Отдельные примеры
функций можно найти в древние эпохи. Исторически можно считать, что некоторые
математики предвидели и приблизились к современной формулировке понятия
функции. Среди них ученый из Франции Николаю Оресми (1323-1382), который
разработал геометрическую теорию широты форм, представляющих различные степени
интенсивности и протяженности[1]. В
его теории присутствуют некоторые общие идеи о независимых и зависимых
переменных количествах.

Но появление
функций в математических исследованиях как четко индивидуализированного понятия
и как объекта исследования само по себе датируется концом XVII века. Появление
понятия функции как индивидуализированной математической сущности можно отнести
к началу исчисления бесконечно малых величин. Декарт (1596-1650) ясно указал,
что уравнение в двух переменных, геометрически представленное кривой, указывает
на зависимость между переменными величинами[2].

Г. Лейбниц
(1646-1716) впервые использовал термин «функция» в 1673 году. Он взял функцию,
чтобы обозначить, в очень общих чертах, зависимость геометрических величин от
формы кривой. Далее Г. Лейбниц ввел такие понятия как «переменная», «параметр»
и «константа».

Термин
«функция» в переводе с латыни обозначает «свершение», «выполнение». С течением
времени трактовка функции стала освобождаться от изначальных представлений и
доминировать стала аналитическая – отождествляющая функцию с формулой, задающей
ее (И. Бернулли, Л. Эйлер). И. Бернулли в 1718 г. представил впервые явное
определение функции, Л. Эйлер в 1734 г. использовал обозначение y = f(x). Именно
И. Бернулли в 1718 году «определил функцию переменной величины как количество,
образованное каким угодно способом из этой переменной и постоянных»[3].

А в 1748 г.
Леонард Эйлер определил функцию переменной величины как аналитическое
выражение, составленное каким-либо способом из этой переменной величины и из
чисел, либо постоянных величин.

Примерно к
середине XIX в. понятие функции было освобождено от единовластия формулы, и в
новом определении был сделан акцент на концепцию соответствия (Н.И.
Лобачевский, Л. Дирихле), которое называют классическим, близкому к современному[4].

После формирования
единой теории множеств идея соответствия была дополнена концепцией множества, которая
позволила изучать функцию не только для числовых множеств, но и на объектах
произвольной природы. В конце XIX веке сложилось понятие отображения,
развивающее понятие функции. Понятие функции у Лакруа (1806 год) появилось уже фактически
в современном виде. Далее общее определение функции (в современной форме, но
для числовых функций) было представлено Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837
год).

К концу XIX
века понятие функции вышло за границы числовых систем. Первыми этот шаг сделали
векторные функции, в этот период Фреге вводит логические функции (1879), а затем
при появлении теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали
современное универсальное определение.