Курсовая с практикой на тему Функции одной и нескольких переменных, графики

Содержание:

Введение. 3

Глава 1. Теоретические основы изучения функций одной и
нескольких переменных  5

1.1. Исторический обзор формирования функции. 5

1.2. Определение функции и графика функции в математике. 8

1.3. Понятие функции нескольких переменных. 12

Глава 2. Математические функции и их применение в задачах
по математике. 15

2.1. Понимание функции в процессе решения математических
задач. 15

2.2. Задачи и их решение по теме исследования. 22

Заключение. 28

Список литературы.. 30

Введение:

К
числу основных понятий современной математики относится понятие функции,
которое прошло долгий исторический путь развития, прежде чем вошло в науку и
школьный курс математики.

Функциональная
линия – один из четырех основных разделов содержательных линий школьного курса
алгебры (учение о функции, учение о числе, уравнения и неравенства,
тождественные преобразования). Она пронизывает целый курс математики. В 5-6-х
классах осуществляется функциональная пропедевтика, в 7-9 классах происходит
систематическое изучение функционального материала. Затем тема «Функции»
продолжает изучаться в старших классах.

Ю.М.
Колягин утверждает, что понятие функции – одно из фундаментальных
математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью.
В нем ярко воплощена изменчивость и динамичность реального мира, взаимная
обусловленность реальных объектов и явлений. Функции, их свойства и графики
образуют основу школьного курса математики.

Вокруг
функциональной линии группируется вся современная школьная алгебра, начала
математического анализа и в некоторой степени геометрия. Специфичность данной
линии заключается в ее возможности устанавливать в обучении внутрипредметные и
межпредметные связи.

Задачи
по теме «Функции» включены в основной государственный экзамен: в первой части и
во второй. Кроме того, задачи по теме исследования присутствуют и в едином
государственном экзамене.

Отметим,
что, несмотря на имеющийся положительный опыт в методике формирования понятия
функции в школьном курсе математики, учителя математики испытывают некоторые
затруднения в ее реализации на практике, недооценивают важность формирования
данного понятия и не всегда уделяют ему должное внимание.

Таким
образом, актуальность темы исследования обусловлена сложившимися к настоящему
времени противоречиями между: необходимостью качественного усвоения
обучающимися понятия функции в курсе математики общеобразовательной школы и
недостаточным количеством математических задач по этой теме.

Объект
исследования: процесс обучения алгебре.

Предмет
исследования: функции одной и нескольких переменных, графики.

Цель
исследования заключается в выявлении и теоретическом обосновании особенностей
функции как фундаментального понятия математики и изучении нескольких
переменных, графиков.

Задачи
исследования:

1.
Представить исторический обзор формирования функции.

2.
Изучить определение функции в математике.

3.
Изучить понятие функции нескольких переменных.

4.
Проанализировать понимание функции в процессе решения математических задач.

5.
Представить задачи и их решение по теме исследования.

Для
решения поставленных задач будут применяться следующие методы исследования:
анализ научной и учебно-методической литературы; изучение, наблюдение и
обобщение школьной практики; анализ школьных программ, учебников и учебных
пособий; анализ учебных заданий; синтез; обобщение.

Структура
работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Заключение:

С
помощью функции описываются многие реальные процессы. В истории математики
уточнение и обобщение понятия «функция», появление новых видов функций было
связано с необходимостью описания вновь открытых законов природы. То есть, на
уроках алгебры целесообразно устанавливать связь функции и реальных процессов,
это будет способствовать естественному пути построения математических знаний у
учащихся.

Нами
выявлено, что понятие функции в своем историческом развитии прошло через
несколько этапов. История развития понятия функции показывает широту, сложность
и многогранность данного понятия. Над ним трудились большое количество ученых.
Отдельные примеры функций можно найти в древние эпохи. Исторически можно
считать, что некоторые математики предвидели и приблизились к современной
формулировке понятия функции. Среди них ученый из Франции Николаю Оресми,
который разработал геометрическую теорию широты форм, представляющих различные
степени интенсивности и протяженности.

Схема
изучения функциональной линии в школьном курсе математики строится с учетом
исторических аспектов развития понятия «функции». Исторический подход к понятию
функции в школьном курсе предполагает повторение в обучении основных этапов,
через которые это понятие прошло в науке.

При
решении задач по математике известны два основных направления в трактовке понятия
функции: классическое (традиционное) и современное (теоретико-множественное),
отражающее отдельные исторические этапы его развития. В рамках каждого
направления выделяется по нескольку подходов, которые отличаются выбором
определяющего (родового) понятия и соответствующей терминологии.

Несмотря
на различные формулировки определений функции в них можно выделить общие
моменты:

1)  под термином «функция» по умолчанию
подразумеваются числовые функции (они и являются объектом изучения в школе);

2)
термин «переменная» используется для общего обозначения различных меняющихся
величин (признак переменности функции);

3)
подчеркивается одновременное наличие двух неравноправных переменных (x и y);

4)
четко выделен основной характерный признак функции – однозначность (в школе
изучаются лишь однозначные функции);

5)  речь не идет о каком-либо способе задания
функции (это отдельный вопрос для изучения).

Стоит
отметить, что подходить к обучению функциям нужно менее формально, максимально
используя графическое представление функции. Необходимо использовать
наглядно-образный материал, активизирующий познавательную деятельность
учащихся, повышающий их интерес и качество знаний; устанавливать связь с
жизненными представлениями учащихся.

В
различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные
соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел.

Были
рассмотрены и решены математические задачи на наибольшее и наименьшее значения
функции на отрезке, на использование функциональных понятий, терминов,
функциональной символики, на кусочное задание функции и некоторые свойства
функций.

Таким
образом, цель, поставленная в работе, достигнута, а задачи решены.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретические основы изучения функций одной
и нескольких переменных

1.1. Исторический обзор формирования функции

Функциональная
линия является одной из содержательных ключевых линий в школьном курсе алгебры.
Изучение функциональной линии обладает общекультурным, мировоззренческим
значением.

Значительно
воздействие на содержание и методику обучения функции в школе оказали концепции
педагогов-математиков Ф. Клейна, А.Я. Хинчина, А.Н. Колмогорова, А.И.
Маркушевича, А. Г. Мордковича и других [4].

Понятие
функции справедливо считается одним из важнейших во всей математике. Отдельные
примеры функций можно найти в древние эпохи. Исторически можно считать, что
некоторые математики предвидели и приблизились к современной формулировке
понятия функции. Среди них ученый из Франции Николаю Оресми (1323-1382),
который разработал геометрическую теорию широты форм, представляющих различные
степени интенсивности и протяженности. В его теории присутствуют некоторые
общие идеи о независимых и зависимых переменных количествах.

Но
появление функций в математических исследованиях как четко индивидуализированного
понятия и как объекта исследования само по себе датируется концом XVII века [1].

Появление
понятия функции как индивидуализированной математической сущности можно отнести
к началу исчисления бесконечно малых величин. Декарт (1596-1650) ясно указал,
что уравнение в двух переменных, геометрически представленное кривой, указывает
на зависимость между переменными величинами.

Г.
Лейбниц (1646-1716) впервые использовал термин «функция» в 1673 году. Он взял
функцию, чтобы обозначить, в очень общих чертах, зависимость геометрических
величин от формы кривой. Далее Г. Лейбниц ввел такие понятия как «переменная»,
«параметр» и «константа» [2].

Термин
«функция» в переводе с латыни обозначает «свершение», «выполнение». С течением
времени трактовка функции стала освобождаться от изначальных представлений и
доминировать стала аналитическая – отождествляющая функцию с формулой, задающей
ее (И. Бернулли, Л. Эйлер) [5].

И.
Бернулли в 1718 г. представил впервые явное определение функции, Л. Эйлер в
1734 г. использовал обозначение y = f(x). Именно И. Бернулли в 1718 году
«определил функцию переменной величины как количество, образованное каким
угодно способом из этой переменной и постоянных».

А
в 1748 г. Леонард Эйлер определил функцию переменной величины как аналитическое
выражение, составленное каким-либо способом из этой переменной величины и из
чисел, либо постоянных величин.

Примерно
к середине XIX в. понятие функции было освобождено от единовластия формулы, и в
новом определении был сделан акцент на концепцию соответствия (Н.И.
Лобачевский, Л. Дирихле), которое называют классическим, близкому к
современному [12].

После
формирования единой теории множеств идея соответствия была дополнена концепцией
множества, которая позволила изучать функцию не только для числовых множеств,
но и на объектах произвольной природы. В конце XIX веке сложилось понятие
отображения, развивающее понятие функции.

Понятие
функции у Лакруа (1806 год) появилось уже фактически в современном виде. Далее
общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было
представлено Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год) [15].

К
концу XIX века понятие функции вышло за границы числовых систем. Первыми этот
шаг сделали векторные функции, в этот период Фреге вводит логические функции
(1879), а затем при появлении теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911)
сформулировали современное универсальное определение.

В
ХХ веке по причине потребностей физики появились «обобщенные функции» (Л.
Шварц, С. Л. Соболев), сильно отличавшиеся по внешнему виду от начальных
представлений о функции. На примере развития понятия функции, возможно,
ознакомить обучающихся с проявлением важных философских категорий – причины и
следствия [20].

При
помощи функции могут быть описаны многие реальные процессы. В истории
математики уточнение и обобщение понятия «функция», возникновение новых типов
функций было основано на необходимости описания вновь открытого закона в
природе. Другими словами, на уроках алгебры следует оптимально устанавливать
взаимосвязь функций и реально существующих процессов, что будет содействовать
естественному пути построения математических знаний у обучающихся.

Все
явления природы тесно взаимосвязаны между собой. В большей части случаев
законы, которые управляют взаимозависимостью явлений, весьма трудны из-за
тесного переплетения разных факторов [21].

Однако
среди большого многообразия явлений ученые выделяют такие, в которых связь
величин настолько тесная, что, зная значение одной из них, можно определить
значение другой величины. Простейшие примеры данных зависимостей дает
геометрия. К примеру, зная длину стороны квадрата либо радиус круга, можно
определить площадь этих фигур, зная длину стороны куба, можно вычислить его
объем, и т.д.