Курсовая с практикой на тему Численное интегрирование с использованием системы MATLAB на внеурочных занятиях по математике

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ  3

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ   4

1.1. Постановка задачи численного интегрирования  4

1.2. Методы численного интегрирования  6

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ MATLAB ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЧИСЛЕННОГО  ИНТЕГРИРОВАНИЯ   13

2.1. Встроенные команды интегрирования в Matlab  13

2.2. Решение без использования встроенных функций  15

2.3. Решение с использованием встроенных функций  19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ  23

СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ   24

Введение:

Matlab (Matrix Laboratory – матричная
лаборатория) – мощный инструмент автоматизации математических расчетов,
отличающееся, прежде всего, широким применением матричных операций. Одна из
основных задач системы Matlab – предоставление языка программирования,
ориентированного на технические и математические расчеты, способного превзойти
возможности традиционных языков программирования, как по скорости вычислений,
так и по адаптации к решению самых разнообразных задач.

 Немаловажно, что с системой Matlab могут интегрироваться такие
популярные системы как Mathcad, Maple и Mathematica. Средство последних версий
Matlab Notebook позволяет готовить документы в текстовом процессоре Word со
вставками в виде результатов вычислений Matlab, представленных в численном,
табличном или графическом виде.  Таким
образом, система Matlab может стать отличным помощником в научных исследованиях.
Однако, широкому применению системы препятствует недостаток необходимой
литературы, изданной на русском языке. Документация по системе и ее приложениям
содержит многостраничную информацию, разобраться в которой довольно сложно.

Целью данной
работы является приобретение навыков работы в системе Matlab, а также закрепление, обобщение и
углубление знаний, полученных при изучении курса высшей математики.

Задачи  работы: путем проработки соответствующей
литературы изучить основы организации вычислений и составления программ в среде
системы Matlab на примере реализации методов численного интегрирования.

Структурно
работа состоит из двух частей: теоретической, где дается краткое описание
изучаемой темы, а также используемых методов, и практической, в которой
приводится решение конкретной поставленной задачи, программный код и графики.

Заключение:

Система
автоматизации вычислений Matlab предоставляет множество возможностей для различных расчетов и
инженерных вычислений, построения математических моделей, программирования,
матричного и графического представления данных.

Эта курсовая
носит больше ознакомительный характер и является начальным этапом в освоении
системы Matlab. Тем не менее в ходе ее выполнения было изучено много новой информации и
полезных сведений.

В первом разделе была рассмотрена постановка задачи численного
интегрирования, перечислены случаи, когда наиболее часто возникает
необходимость ее решения, подробно изложены метод трапеций, Симпсона и
квадратур Гаусса, приведена их геометрическая интерпретация, отмечены
преимущества и недостатки, а также дана оценка погрешности каждого метода.

Во втором разделе приведены встроенные команды численного интегрирования
и их спецификации, для конкретной практической задачи написаны программы,
реализующие вывод графика подынтегральной функции, вычисление с помощью
изученных методов определенного интеграла с заданной точностью и оценена
сходимость каждого из них. Правильность решения проверена и подтверждена
встроенными средствами Matlab.

Овладение полученными навыками будет востребовано при комплексном решении
ряда задач, производстве прикладных математических расчетов и составлении
программ для ЭВМ в дальнейшем.

Фрагмент текста работы:

1.2. Методы численного интегрирования

Методы
численного интегрирования условно можно разделить на два класса:

— формулы
Ньютона-Котеса(к ним относятся метод прямоугольников, трапеций, Симпсона и
др.);

— квадратуры
Гаусса-Лежандра.

Формулы Ньютона-Котеса получаются путем замены
подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа с разбиением
каждого частичного отрезка интегрирования на  равных частей.
Получившиеся формулы используют значения подынтегральной функции в узлах
интерполяции и являются точными для всех многочленов степени х зависящей от
числа узлов. Точность решения растет с увеличением степени интерполяционного
многочлена.

Метод Гаусса не предполагает разбиения отрезка интегрирования на равные
промежутки. Формулы численного интегрирования интерполяционного типа ищутся
таким образом, чтобы они обладали наивысшим порядком точности при заданном
числе узлов. Узлы и коэффициенты формул численного интегрирования находятся из
условий обращения в нуль их остаточных членов для всех многочленов максимально
высокой степени [13].