Курсовая с практикой на тему Числа Фибоначчи и их приложения

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект применения чисел Фибоначчи 5
1.1 Фибоначчи: «Книга об абаке» (1202) и задача о кроликах 5
1.2 Определение последовательности Фибоначчи и формула общего члена (формула Бинэ) 7
1.3 Основные теоретико-числовые свойства последовательности Фибоначчи 10
1.4 Числа Фибоначчи и цепные дроби 11
1.5 Геометрические приложения чисел Фибоначчи 11
1.6 Последовательность Фибоначчи и архитектурные формы 14
Глава 2. Применение чисел Фибоначчи 15
2.1 Математические задачи, приводящие к понятию последовательности Фибоначчи (геометрии, теории чисел) 15
Заключение 24
Список использованной литературы 25

Введение:

Актуальность темы. Последовательность и числа Фибоначчи очень широко применяются в различных отраслях как математического, так и не математического мира. Не удивительно, что исследование данного вопроса интенсивно продолжалось и в ХХ веке. Этому способствовали новые проблемы комбинаторики, информатики, которые в то время встали перед интеллектуальной элитой общества. Данная тема не теряет своей актуальности и до наших дней.
Существует множество математических задач, которые одновременно и трудны и интересны, а также не связаны с чьим-либо именем. Они являют собой некий «математический фольклор». Данные задачи имеют не одну интерпретацию. Иногда бывает, что маленькие задачи объединяют в одну, более сложную; и, наоборот: с большой задачи формируется несколько более простых. Поэтому часто получается сложно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Было бы правильно считать, что в этих задачах кроются маленькие математические теории, которые имеют свою историю, проблематику и методы.
Такой теорией является и теория чисел Фибоначчи, которые возникли со знаменитой «задачи о кроликах». Она имеет не менее 750-ю давность, но, тем не менее, числа Фибоначчи до сих пор остаются одним из самых увлекательных разделов математики.
Данная задача – это фундаментальный факт истории математики нашего времени, который существенно сместил центр математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел и резко повысилась удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По сути, возникла вычислительная математика.
Наконец в наше время было найдено большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Э то и обусловило актуальность выбранной темы курсовой работы: «Числа Фибоначчи и их приложения».
Теория чисел Фибоначчи используется во многих отраслях, поэтому эти числа остаются актуальной темой в математике.
Цель исследования: изучить основные свойства последовательности чисел Фибоначчи и некоторые ее приложения.
Объект исследования: математика.
Предмет исследования: числа Фибоначчи.
Достижение цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Подобрать и проанализировать научную литературу по данной проблематике;
2. Исследовать и изучить теоретические аспекты применения чисел Фибоначчи и их сущность;
3. Привести примеры применения чисел Фибоначчи на практике.
4. На основе проведенного исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: анализ научной литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 25 страниц.

Заключение:

Таким образом, в ходе работы был выполнен анализ литературы по данной теме, в результате этого были определены основные понятия чисел Фибоначчи и «золотой пропорции».
Числа Фибоначчи – элементы числовой последовательности: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …, в которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название этой последовательности в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как самая большая часть относится к меньшей части. При этом меньший отрезок так относится к большему так, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а.
Теория чисел Фибоначчи используется во многих областях: в математике, химии, теории информации, архитектуры и тому подобное. Числа Фибоначчи нашли свое отражение в природе. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян у подсолнечника, шишек на сосне проявляется ряд Фибоначчи, а, следовательно, закон «золотого сечения». Части человеческого тела относятся как числа Фибоначчи.
Также числа Фибоначчи и золотую пропорцию можно встретить в быту. Например, почтовые открытки изготавливают в виде прямоугольника, отношение сторон в котором равно числу 1, 618. Если от этого прямоугольника отрезать наибольший возможный квадрат, то получим прямоугольник, подобный данному. Процесс этот бесконечен.
Данная тема будет актуальна еще долгое время, и будут открываться все новые и новые факты, подтверждающие присутствие и влияние последовательности Фибоначчи на жизнь.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретический аспект применения чисел Фибоначчи

1.1 Фибоначчи: «Книга об абаке» (1202) и задача о кроликах

Наибольший интерес вызывает у нас произведение Фибоначчи «Книга абака». Данная книга – это объемный труд ученого Леонардо Фибоначчи. Она вмещает почти все арифметические и алгебраические знания того времени.
Также важно отметить и то, что книга отыграла важную роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких следующих веков. Например, именно эта книга подарила Европе представления и знания об индусских (арабских) цифрах [1].
Несмотря на свое название, эта книга посвящена, собственно, не абаку, а содержит сведения практически из всей тогдашней математики – вплоть до методов к решению различных уравнений. Слово «абак» тогда часто употреблялось как синоним слова «арифметика». И при рассмотрении всех этих вопросов, с первой страницы и до последней, Леонардо систематически использует новую индийскую систему нумерации. Лучшего способа пропаганды этой системы нельзя было и придумать. Эффективность нового способа исчисления показана на многих примерах решению математических задач самого разнообразного содержания. С тех пор индийско-арабские числа по-настоящему становятся европейскими. А «Книга абака» – основной исходной точкой для развития европейской математики. По ней и по ее компиляциях изучали математику вплоть до времен Декарта (XVII ст.) и Эйлера (XVIII ст.) [1].

Рисунок 1 – Книга Абака, страница 123 (задача о кроликах) [1]
В своей книге Фибоначчи на страницах 123-124 формулирует задачу (рис. 1), которая стала толчком для последующих исследований во всей математике: «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, с целью узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов рождает на свет еще одну пару, а процесс рождения у кроликов происходит со второго месяца после своего рождения» [1].
Самим главным детищем данной задачи есть самая известная из всех в мире числовых последовательностей, которая тогда еще не знала, какую роль отведет ей в истории человечества судьба. Числа , которые образуют последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность – последовательностью Фибоначчи.
Суть последовательности Фибоначчи заключается в том, что, начиная с 1, 1 следующее число получим сложением двух предыдущих чисел.