Курсовая с практикой на тему Цепные дроби и их свойства

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 2
ГЛАВА 1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЦЕПНЫХ ДРОБЯХ 5
1.1. Сущность цепных дробей 5
1.2. Свойства цепных дробей 11
ГЛАВА 2. ПРИМЕРЫ С ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ 16
2.1. Конечные цепные дроби 16
2.2. Бесконечные цепные дроби 17
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 27

Введение:

Теория чисел — это наука о системах счисления с их связями и законами. В этом случае, прежде всего, внимание уделяется числам натуральных рядов, которые являются основой для построения других числовых систем: целых, рациональных и иррациональных, вещественных и сложных.
Теория чисел изучает числа с точки зрения их структуры и внутренних связей, рассматривает возможности представления одних чисел через другие, более простые по своим свойствам, в то же время строгое логическое обоснование концепции натурального числа и его обобщений, как а также теории действий рассматриваются отдельно в основах арифметики.
Действительные числа имеют разнообразные представления: это и геометрическое изображение в виде точек на действительной оси, и знакомое школьником представление в виде (бесконечной) десятичной дроби, и (бесконечные) q-чные дроби для любой q-чной системы счисления. Каждое из этих представлений имеет свои преимущества для решения определённых задач.
Так, изображение чисел на прямой пробуждает геометрическую интуицию, десятичные и q-чные представления позволяют отличить рациональные числа от иррациональных, используя периодичность бесконечных q-чных дробей. С этой точки зрения цепные (непрерывные) дроби дают альтернативное упомянутым выше представление действительных чисел. Оно позволяет отличить рациональные числа от иррациональных, исследовать структуру непрерывных дробей для квадратичных иррациональностей, с их помощью легко получить конкретные примеры трансцендентных чисел.
Связанные с цепными дробями подходящие дроби обладают многими замечательными свойствами, например, они приближают действительные числа наилучшим (в некотором смысле) образом. Поэтому теория цепных дробей всегда привлекала истинных ценителей математической красоты, щедро одаривая их удивительными открытиями.
Впервые цепные дроби появились в работах итальянского математика Рафаэля Бомбелли (1526–1572) в 1572 году. Бурный расцвет теории цепных дробей связан с именем Леонарда Эйлера (1707–1783). В работе 1744 г. он рассмотрел свойства цепных дробей, ввёл понятие подходящей дроби, нашёл разложение в цепную дробь числа e (основания натурального логарифма) и некоторых чисел, связанных с e. Эйлер применил цепные дроби к разложению функций, бесконечных произведений, поставил вопрос об использовании цепных дробей для решения дифференциальных уравнений.
Многие важные результаты в теории цепных дробей получены голландцем Д. Бернулли (1700–1782) и французом Ж. Лагранжем (1736- 1813). Лагранж доказал удивительную теорему о квадратичных иррациональностях (иррациональных корнях квадратных уравнений с целыми коэффициентами). Оказывается, что они, и только они, раскладываются в периодические цепные дроби.
К сожалению, в общем случае о разложении в цепные дроби алгебраических чисел степени больше двух известно мало. Здесь больше вопросов, чем ответов. Неизвестно, например, всегда ли ограничены цифры цепной дроби, представляющей алгебраическую иррациональность.
Цепные дроби считаются одним из аппаратов приближения функций, они обладают замечательным качеством малого накопления погрешности при их вычислении. Дроби в наше время используются практически во всех сферах деятельности человека, а это значит, что людям всех профессий нужно непременно их изучать, невзирая на видимую объемистость представления, процесс вычисления цепных дробей является цикличным и легко поддается программированию с помощью ЭВМ.
Данный вид дробей можно успешно применять к решению неопределенных (=диофантовых) уравнений. Главная трудность решения таких уравнений состоит в том, чтобы определить какое–нибудь его частное целочисленное решение. Однако, с помощью цепных дробей можно указать алгоритм для разыскания такого решения.
Бесконечные цепные дроби могут быть применены для решения трансцендентных и алгебраических уравнений, для быстрого вычисления значений определенных функций. Выше указанное указывает на актуальность данной темы.
Таким образом, объектом исследования являются цепные дроби, а его предметом – свойства цепных дробей.
Объект и предмет исследования определили его цель – проанализировать цепные дроби и их свойства.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Изучить сущность цепных дробей;
2. Рассмотреть свойства цепных дробей;
3. Рассмотреть примеры с конечными цепными дробями;
4. Рассмотреть примеры с бесконечными цепными дробями.

Заключение:

Непрерывные или цепные дроби представляют собой интересную запись дробных чисел, которая позволяет представить действительное число с достаточной точностью. Дробные числа цепей широко используются в математике, поэтому вам может понадобиться калькулятор, который быстро преобразует десятичную или обычную дробь в непрерывную дробь.
Теоретическая основа для написания рациональных чисел в элегантной форме была заложена римскими математиками Бомбелли в 1572 году, а в 1613 году его соотечественник Катальди предложил современную форму письма. Позже Эйлер обобщил разрозненные концепции в единую теорию и использовал ее для решения производных, разбивки функций и представления бесконечных продуктов.
Вместо обычной дроби, которая имеет числитель и знаменатель, рациональное число может быть представлено как непрерывная дробь. Непрерывное дробное число является многоуровневой дробью. Это отношение в каждом знаменателе содержит рациональное число, знаменатель которого также имеет дробь. Чтобы привести обычные отношения в форму цепочки, достаточно повторить действие, изолировав всю часть, а затем представив остальное в обратном порядке. Он выглядит растерянным, поэтому давайте попробуем это на практике.
Зная непрерывную дробь, мы можем предвидеть действительное число с большей точностью, чем обычные или десятичные отчеты. Основным преимуществом этой формы записи по отношению к десятичной дроби является отсутствие связи непрерывных дробей с любой системой вычислений. Например, иррациональность числа выражается непрерывной бесконечной дробью. Кроме того, периодичность бесконечной дроби демонстрируется тем фактом, что число характеризуется квадратичной иррациональностью. По сравнению с десятичным обозначением иррациональных чисел непрерывные дроби очень точны.
Основным недостатком непрерывных дробных чисел является отсутствие правил выполнения арифметических операций с ними, поэтому они не нашли широкого применения. Несмотря на низкую популярность, цепные дроби используются в евклидовом алгоритме — алгоритме разделения и аппроксимации действительных корней с целыми коэффициентами.
Одним из исторических примеров использования непрерывных дробей является создание одного из первых механических планетариев. В 1682 году голландский механик Кристиан Гюйгенс построил зубчатый механизм, при расчете которого он применил теорию непрерывных дробей. Этот расчет позволил создать планетарий, который показал взаимное движение планет с максимальной точностью.
Непрерывные дроби — это элегантный способ максимально точно представить любое действительное число. Эта теория не слишком широко распространена в современной науке, но дробные цепи до сих пор преподаются в математических залах как один из интересных способов работы с числами.

Фрагмент текста работы:

ГЛАВА 1. ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЦЕПНЫХ ДРОБЯХ
1.1. Сущность цепных дробей
Дробями в математике называются числа, каждое из которых состоит из одной или более частей единицы. Такие дроби еще называют обыкновенными, либо простыми. Как правило, они записываются в виде двух чисел, которые разделены горизонтальной или слеш-чертой, она называется «дробной». Например: ½, ¾.
Верхнее, или первое из этих чисел – это числитель (показывает, сколько взято долей от числа), а нижнее, или второе – знаменатель (демонстрирует, на столько частей разделена единица).
Дробная черта фактически выполняет функции знака деления. К примеру, 7:9=7/9
Традиционно обыкновенные дроби меньше единицы. В то время как десятичные могут быть больше ее.
Для чего нужны дроби? Да для всего, ведь в реальном мире далеко не все числа целые. К примеру, две школьницы в столовой купили в складчину одну вкусную шоколадку. Когда они уже собрались делить десерт, встретили подружку и решили угостить и и ее. Однако теперь необходимо правильно разделить шоколадку, если учесть, что она состоит из 12 квадратиков.
Поначалу девчонки хотели разделить все поровну, и тогда каждой бы досталось по четыре кусочка. Но, раздумав, они решили угостить подружку, не 1/3, а 1/4 шоколадки. А поскольку школьницы плохо изучали дроби, то они не учли, что при подобном раскладе в результате у них останется 9 кусочков, которые очень плохо делятся на двоих. Этот довольно простой пример показывает, насколько важно уметь правильно находить часть от числа. А ведь в жизни подобных случаев гораздо больше.
Все математические дроби делятся на два больших разряда: обыкновенные и десятичные. Об особенностях первого из них было рассказано в предыдущем пункте, так что теперь стоит уделить внимание второму.