Курсовая с практикой на тему Цепные дроби

Содержание:

Введение. 3

Глава
1. История и основные понятия цепных дробей. 5

1.1.
История цепных дробей. 5

1.2.
Понятие цепных дробей. 8

Глава
2. Разложение действительных чисел в цепную дробь. 12

Заключение. 18

Список
использованных источников. 20

Введение:

Актуальность. Применение аппарата непрерывных дробей к
прикладным задачам, в том числе и олимпийского характера, позволяет углубить
математические знания, расширить кругозор и повысить мотивацию к изучению
математики.

Теория чисел — это наука о системах чисел с их связями и
законами. При этом в первую очередь внимание уделяется числам естественного ряда,
которые лежат в основе построения других систем чисел: целых, рациональных и
иррациональных, реальных и комплексных.

Теория чисел изучает числа с точки зрения их структуры и
внутренних связей, рассматривает возможность представления одних чисел через другие,
более простые по своим свойствам, в то время как строгая логическая основа
понятия природного числа и его обобщений, а также теория действий
рассматриваются отдельно в основах арифметики …

Поскольку вышеперечисленные вопросы изучаются в школьном курсе,
они объединяются под единым названием арифметика, хотя, как наука, арифметика
отождествляется с теорией чисел.

Следует отметить, что в последнее время стремительно
развивались новые области математики. На этом фоне возрастает интерес к теории
чисел.

Бесконечные непрерывные дроби, которая является предметом
курса, один из разделов теории чисел. Впервые непрерывные дроби были описаны в
алгебре Бомбелли, опубликованной в 1572 году. Но современное обозначение непрерывных
дробей встречается у Катальди в 1613 году, только вместо знака «+» он написал
«и».

Непрерывные дроби широко использовались со времен работы
известного физика, астронома и математика Кристиана Гюйгенса (1629-1695).
Гюйгенс рассматривал непрерывные дроби в связи с проблемой выбора зубчатых колес,
в которых отношение числа зубьев было максимально близко к заданному числу.
Число зубьев в таких колесах нельзя было взять слишком большим, поэтому нужно
было найти два сравнительно небольших натуральных числа, соотношение которых
было близко к заданному числу. Решение проблем такого рода, естественно,
приводит к рассмотрению непрерывных дробей и тех, которые им подходят. Выбор
таких зубчатых колес был необходим Гюйгенсу в связи с его намерениями построить
модель, имитирующую движение планет в Солнечной системе.

Кроме того, теория непрерывных дробей систематически
разрабатывалась Эйлером, а затем Лагранжем. Непрерывное расширение доли числа
также связано с Эйлером.

Объект: цепные дроби.

Предмет: понятие цепных дробей.

Целью исследования является изучение цепных дробей.

Задачи:

— История цепных дробей.

— Понятие цепных дробей.

— Разложение действительных чисел в цепную дробь.

Практическое значение.

Действительные числа отображаются однозначно с непрерывными
дробями. Основной смысл такой картины в том, что, зная непрерывную дробь,
представляющую действительное число, можно определить это число с достаточной
точностью.

Структура работы представлена введением, двумя разделами,
заключением и списком использованных источников.

Заключение:

В этом исследовании мы отойдем от изучения одних только
целых чисел, и произвольные действительные числа (как рациональные, так и
иррациональные) станут действующими лицами. Этот абзац посвящен весьма
гениальному математическому аппарату-непрерывным (или непрерывным) дробям.
Почему-то им об этом не говорят в школах, техникумах и университетах без вины,
а зря. Помимо того, что изучение непрерывных дробей само по себе занимательно,
их приложения значительно выходят за рамки теории чисел: они помогают изучать
последовательности чисел, анализировать алгоритмы, решать дифференциальные
уравнения и т.д.

Непрерывные дроби были введены в 1572 году итальянским
математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у
итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века
Леонардо Эйлер первым изложил теорию непрерывных дробей, поднял вопрос об их
использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к расширению
функций, представлению бесконечных произведений и дал важное обобщение.

Работу Эйлера по теории непрерывных дробей продолжали М.
Софронов (1729-1760), академик В. М. Висковатый (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782)
и другие. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику
Лагранжу, который нашел метод приблизительного решения дифференциальных
уравнений с использованием непрерывных дробей.

Цепная дробь (или непрерывная дробь)
— это математическое выражение вида где a0-целое число, а все остальные an-натуральные числа (т.
е. положительные целые числа). Любое действительное число может быть
представлено как непрерывная (конечная или бесконечная) дробь. Число
представлено конечной непрерывной дробью тогда и только тогда, когда оно
рационально. Число представлено периодической непрерывной дробью тогда и только
тогда, когда это квадратичная иррациональность.

Подводить итог. В ходе исследования были проведены следующие
работы.

Собранный и освоенный теоретический материал, составленный
на основе изученных свойств алгоритма решения диофантовых уравнений,
приведенных в этой работе. Для решения этих уравнений сделаны замечания.

Были найдены некоторые области применения непрерывных
дробей.

Были составлены и завершены практические задачи по
разложению действительных чисел на непрерывные дроби, а также по решению
диофантовых уравнений вида ax + by = c.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. История и основные понятия цепных дробей 1.1. История цепных дробей В процессе поиска наилучшего приближения значений квадратных
корней итальянский математик Пьетро Антонио Катальди (1552-1626) пришел в 1613
г. к непрерывным дробям, с которых началось их изучение.  Правда, они познакомились почти 40 лет назад
в алгебре другого итальянского математика Рафаэля Бомбелли (около 1526-1572).
Но Катальди выделил непрерывные дроби в отдельный тип, выявил некоторые их
свойства [10, с. 178].

Современное обозначение непрерывных дробей было предложено
выдающимся голландским ученым Кристианом Гюйгенсом (1629-1695). Гюйгенс был не
только известным физиком, он был еще и замечательным математиком, изобретателем
и удивительным конструктором. Кроме того, он писал хорошие стихи.

Гюйгенс был вынужден обратиться к непрерывным фракциям (1680)
при строительстве планетария в Париже. Он хотел получить наилучшие приближения
для отчетов орбитальных периодов планет. Эти соотношения и соотношения числа
зубьев соответствующих взаимосвязанных планетарных шестеренок должны были
совпадать. Но по техническим причинам количество зубьев шестерни не может быть
очень большим. Их нужно было выбрать так, чтобы возникшие отношения как можно
меньше отличались от настоящих. Гюйгенс обратился к непрерывным фракциям и с их
помощью нашел решение стоявшей перед ним проблемы. Заодно подробно изучил теорию
непрерывных дробей.

По некоторым сведениям, цепные дроби применялись уже
математиками Древней Греции. Например, алгоритм Евклида (III в. до н.э.) тесно
связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к
числу Архимед (ок. 287-212 до н.э.)
пользовался методом, близкому к разложению в цепную дробь.

В 1858 году на одном из курортов Нила был найден древний
папирус; его также называют папирусом Ахмеса по писцу, скопировавшему его в 1650
году до н. э. Если Архимед жил в 3 веке до нашей эры, то папирус Ринда восходит
по крайней мере к 17 веку; ведь Ахмес был всего лишь писцом, а автор (вернее,
авторы этой работы) неизвестен, но он жил еще раньше. Папирус корка содержит
удивительную формулу для вычисления площади круга: , где S-площадь, А D-диаметр окружности.
Формула дана в виде рецепта: "возьмите диаметр круга и отбросьте его
девятую часть; постройте квадрат над остальными. "Здесь используются
лучшие рациональные приближения. Однако трудно сказать, как египтяне нашли этот
коэффициент. Его можно было найти просто путем отбора — что абсолютно исключено
в случае приближений, найденных Архимедом [1, с. 71].

Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чих (5 век нашей
эры) показал, что π находится между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве
рационального приближения π количество .

Среди средневековых математиков Омар Хайям (С. 1048-1122)
подходил к непрерывным дробям. Он использовал их как основу своей идеи о
реформе календаря. По его приближениям, продолжительность года была суток и составляла погрешность всего 19
секунд в год [4].

Но впервые непрерывные дроби как таковые появляются в
"алгебре" итальянского математика Рафаэля Бомбелли (1526-1572),
опубликованной в 1572 году в статье, написанной в то время, когда
алгебраические понятия и обозначения впервые появились в Италии и Франции.
Бомбелли придумал непрерывные дроби, изучая квадратный корень чисел. Первое
известное использование непрерывных дробей является приблизительным выражением следующего вида [17]. Это частный случай формулы .

Следующее применение дроби продолжается, и снова к
извлечению квадратных корней принадлежит итальянскому математику Пьетро Антонио
Катальди (1552-1626), он предложил второй частный случай этой формулы: . В 1613 году он ввел повторное использование
дробного бар при написании непрерывной дроби, то есть уже фактическое
обозначение непрерывной дроби, только вместо + он использовал perluet (&),
т. е. сокращение от латинского союза и (и). И его рекорд разложения выглядела следующим образом: =4&&… Кроме разложения иррационального числа в
ряд Катальди ещё и нашёл приближения этого числа: и , между которыми заключён (хотя он не знал, как последовательно
вычислять соответствующие дроби) в то же время Катальди заметил, что значение
непрерывной дроби всегда находится между смежными соответствующими дробями.

Каталди и Бомбелли пришли к непрерывным дробям, взяв
квадратный корень из чисел, а Даниэль Швентер (1585-1636), немецкий математик,
пришел к непрерывным дробям, сближая дроби с большими числителями и знаменателями.
Он разбил обычную дробь на последовательность, используя массив, используя
очень интересный метод [25]. Таким образом, он нашел рекуррентные отношения для
последовательного вычисления числителей и знаменателей соответствующих дробей.
Но в то же время Швентер рассматривал только регулярные дроби — дроби,
числители которых все равны единице, а все знаменатели являются натуральными
числами [5, с. 7].

В середине 17-го века английский математик Джон Уоллис
(1616-1703) был первым, кто расширил трансцендентное число в бесконечное произведение: …, а У. Броункер (1620-1686), первый
президент Королевского общества, около 1659 г. без доказательства опубликовал
разложение его в цепную дробь: .

Следующий шаг в развитии теории непрерывных дробей сделал
Кристиан Гюйгенс (1629-1695). Он построил модель Солнечной системы с помощью
набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что соотношение числа зубов любые два колеса должны быть равны
соотношению времен вращения двух планет вокруг Солнца. Это соотношение
достаточно точно выражается в виде дроби (неприводимой) с большим числителем и
большим знаменателем. Изготовление таких шестеренок практически очень сложно.
Затем Гюйгенс нашел среди дробей с нижним числителем и нижним знаменателем
дробь, соответствующую числу [16]. Как и Швентер, Гюйгенс решил эту
проблему, развив обычную дробь в непрерывную и поэтому ограничился
рассмотрением регулярных непрерывных дробей. Благодаря которой была найдена
подходящая дробь , приблизительная дробь с большим числителем
и знаменателем, и имеющая ошибку всего в десять тысячных от единицы. Гюйгенс
обратил внимание на то, что невозможно найти обычную дробь с числителем и
знаменателем, меньшими, чем соответствующий знаменатель, который был бы ближе к
значению непрерывной дроби; а также что соответствующие дроби попеременно
больше и меньше непрерывной дроби.

Можно сказать, что непрерывные дроби время от времени
обрабатывались, и первым, кто систематизировал знание непрерывных дробей и
изложил их полную теорию, насколько это было возможно в то время, был Леонард
Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 году, в которой он
рассматривал общую непрерывную дробь, и соответствующие непрерывные дроби
появились впервые. Следует отметить, что сам термин «непрерывная дробь»
появился только в XVIII веке, а до этого использовалось понятие «непрерывная
дробь». Вторая работа Эйлера, опубликованная в 1750 году, на самом деле была
продолжением его, он рассматривал использование непрерывных дробей для решения
дифференциальных уравнений, алгоритма поиска подходящих дробей, преобразования
числовых рядов в эквивалентные непрерывные дроби, представления иррациональных
чисел в непрерывные дроби и поиска для некоторых из них подходящих дробей. Из
его работы стало ясно, что непрерывные дроби можно использовать как в теории
чисел, так и в анализе. Эйлеру принадлежат и многие другие труды, связанные с
изучением и применением непрерывных дробей.