Курсовая с практикой на тему Арифметическая и геометрическая прогрессии: теория и практика

Содержание:

Введение. 3

Глава 1. Теоретические основы изучения
арифметической и геометрической прогрессии. 6

1.1. Основной понятийный аппарат темы
«Арифметическая прогрессия». 6

1.2. Основной понятийный аппарат темы
«Геометрическая прогрессия». 10

Глава 2. Практические аспекты изучения
арифметической и геометрической прогрессии. 14

2.1. Анализ школьных учебников по изложению темы
«Арифметическая и геометрическая прогрессии». 14

2.2. Основы решения задач по теме «Арифметическая прогрессия». 19

2.3. Основы решения задач по теме «Геометрическая
прогрессия». 26

Заключение. 36

Список литературы.. 37

Введение:

Актуальность исследования. Многие задачи, связанные с числовыми
последовательностями появились в глубокой древности. Тема «Числовые
последовательности» включена в программу основной школы и на базовом уровне
основное внимание уделяется изучение простейших числовых последовательностей –
арифметической и геометрической прогрессии. Геометрическая и арифметическая
прогрессии играют очень важную роль не только в школьном курсе алгебры.
Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается
в его чрезвычайно широких областях применения в жизни.

Изучение
раздела «Арифметическая и геометрическая прогрессия» а способствует
формированию у учащихся следующих ключевых навыков: правильное употребление
буквенной символики; составление буквенных выражений и формул; осуществлять в
формулах числовые подстановки; выполнять соответствующие вычисления. Данная
тема позволяет определить такие основные понятия математического анализа, как
бесконечность, предел и непрерывность. Теория рядов полностью базируется на
последовательностях.

Современная
школьная программа при постоянно сокращающемся числе часов, отводимых на
изучение математики в школе, включает в себя огромное число понятий, законов,
теорий, фактов и предусматривает большой объем познавательной информации, в
связи с этим школьник испытывает огромные перегрузки.

Тема
«Прогрессии» является обособленным разделом в школьном курсе математики, однако
на ее изучение отводится не более 14 часов, что не является достаточным для
тщательного исследования данной темы. Учащиеся на уроках знакомятся с основными
понятиями прогрессии и учатся находить конкретный член числового ряда.

Заключение:

Таким
образом, в ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

1. Основными
понятиями темы «Арифметическая прогрессия» являются:

¾ понятие
арифметической прогрессии;

¾ формула
n-го члена арифметической прогрессии;

¾ формула
суммы первых n членов арифметической
прогрессии;

¾ характеристическое
свойство арифметической прогрессии.

2. Основные
понятия темы «Геометрическая прогрессия»:

¾ понятие
геометрической прогрессии;

¾ формула
n-го члена геометрической прогрессии;

¾ формула
суммы первых n членов геометрической
прогрессии;

¾ характеристическое
свойство геометрической прогрессии.

2. В
соответствии с анализом школьных учебников можно отметить, что особенно можно
выделить 2 учебника, для изучения учениками средней школы при знакомстве с разделом
«Прогрессии» под редакцией А.Г. Мордковича и Н.Я. Виленкина. В этих учебниках
наиболее подробно изучается раздел «Прогрессии».

3.
Представлена методика решения задач по теме «Арифметическая прогрессия».

4. Представлена
методика решения задач по теме «Геометрическая прогрессия».

Можно
отметить, что понятия арифметической и геометрической прогрессий основываются
на понятии числовой последовательности. Характеристическое свойство
арифметической (геометрической) прогрессии отражает связь между тремя
последовательными членами. При введении понятий и теорем данной темы
прослеживается аналогия между арифметической и геометрической прогрессиями.

Итак, цель
работы достигнута, задачи решены.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретические основы изучения
арифметической и геометрической прогрессии

1.1. Основной понятийный аппарат темы
«Арифметическая прогрессия»

Определение
термина «Прогрессия» обладает латинским происхождением и обозначает «движение
вперед» [1]. Под понятием «прогрессия» в прошлом понимали определенную
последовательность чисел, которая построена по такому закону, позволяющему не в
ограниченных рамках продолжать данную последовательность в этом направлении. К
примеру, возводя последовательные целые числа в квадрат, можно получить такую
последовательность: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.

На
сегодняшний день в математике понятие «прогрессия» используется в
словосочетаниях «арифметической» и «геометрической прогрессии», а прогрессия
используется в качестве последовательности, числовой последовательности.
Ключевые понятия, которые относятся к теме прогрессии – это арифметические и
геометрические прогрессии [2].

Арифметическая
прогрессия – это такая последовательность, в которой любой из ее членов,
начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же
числом. Другими словами, последовательность () является арифметической прогрессией в том случае, если для
каждого натурального n исполняется
условие:  – определенное число
[15].

Опираясь на
определение арифметической прогрессии можно отметить, что разность между любым
её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, другими словами с любым натуральным n будет верным такое равенство: . Число d можно
назвать разностью арифметической прогрессии. Отметив значение первого члена
прогрессии и ее разности можно задать всю арифметическую прогрессию [14].