Контрольная работа на тему Вероятность появления хотя бы одного события

Содержание:

Введение. 2

Теоретические
аспекты вероятности появления хотя бы одного  события  3

Решение
задач на вероятность появления хотя бы одного события. 5

Заключение. 10

Список
литературы.. 11

Введение:

Теория
вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных
явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над
ними.

Долгое время
теория вероятностей не имела четкого определения. Она была сформулирована
только в 1929 году. Возникновение теории вероятностей как науки относят к
Средневековью и первым попыткам математического анализа азартных игр (кости,
рулетка). Французские математики XVII века Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли
первые вероятностные закономерности, возникающие при броске костей, когда они
изучают предсказание выигрыша в азартных играх.

Теория
вероятностей возникла как наука из убеждения, что массовые случайные события
основаны на определенных закономерностях. Теория вероятностей изучает эти
закономерности.

Теория вероятностей
занимается изучением событий, возникновение которых достоверно неизвестно. Это
позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий в сравнении с
другими.

К примеру,
невозможно определить точный результат «орла» или «решки» в результате подбрасывания
монеты, но количество «орлов» и «решек» примерно одинаково для нескольких
переворотов, что означает, что вероятность «орла» или «решки» составляет 50%.

Цель работы – рассмотреть вероятность появления хотя бы одного события.

Задачи работы:

¾             
рассмотреть теоретические аспекты вероятности появления хотя
бы одного события;

¾             
изучить решение задач на вероятность появления хотя бы одного
события.

Заключение:

Так, было
выявлено, что теория вероятностей – это раздел математики, возникший в
результате изучения социальных, поведенческих и физических явлений, на которые
влияют случайность и неопределенность. Теория вероятностей  является разделом математики, занимающимся
анализом случайных явлений.

Основополагающим
компонентом теории вероятностей является эксперимент, который можно повторить,
по крайней мере, гипотетически, в по существу идентичных условиях и который
может привести к различным результатам в разных испытаниях. Множество всех
возможных исходов эксперимента, называется «выборочное пространство».

В
действительности же существуют случайные явления, и многие события не уточняют
природу этих отношений. Нахождение закономерностей в случайных явлениях
является задачей математического раздела теории вероятностей. Теория
вероятностей — это инструмент для изучения скрытых и неоднозначных взаимосвязей
между различными явлениями во многих отраслях науки, техники и экономики.

Теория
вероятностей позволяет надежно рассчитать колебания спроса, предложения, цен и
других экономических показателей. Кроме того, теория вероятностей является
основой такой науки, как статистика. Так называемая теория игр основана на
формулах этого раздела математики.

Фрагмент текста работы:

Теоретические аспекты вероятности появления хотя бы
одного события

Допустим есть определенный комплекс независимых в
совокупности событий  А₁, А₂, …, А_n,
которые связаны с определенным экспериментом. 
Предположим, что известны вероятности, с которыми любое из данных
событий может возникнуть: Р(А₁) = р₁, Р(А₂)
= р₂ , …, Р(А_n) = р_n. Можно
определить, с какой вероятностью возникнет хотя бы 1 из данных событий
[3].

Введем обозначение для интересующего события: А – возникло
хотя бы 1 из группы событий А₁, А₂, …, А_n.
В данной ситуации, намного легче определить величину вероятности не напрямую
события А, а противоположного ему события 
Ā – ни 1 из событий А₁, А₂, …, А_n
не случилось. Но если не произошло событие, например,  А₁, то это значит, что произошло
противоположное для него событие  Ā₁.
Следовательно, событие Ā  реализуется
лишь в той ситуации, когда единовременно происходят все события А₁, А₂, …, А_n,
т. е. Ā =  Ā₁·Ā₂· …
·Ā_n. Из совокупной независимости событий А₁, А₂, …, А_n
может следовать совокупная независимость системы противоположных событий Ā₁,
Ā₂, …, Ā_n.

Поэтому получаем  Р(Ā)
= Р(Ā₁·Ā₂· … ·Ā_n) = Р(Ā₁)·Р(Ā₂)·
… ·Р(Ā_n). Обозначим для краткости вероятности противоположных
событий:  q₁ = Р(Ā₁),
q₂ = Р(Ā₂), …, q_n =
Р(Ā_n). Ясно, что q₁ = 1 – p₁
, …, q_n =1– p_n (так связаны вероятности
противоположных событий). Таким образом, получаем следующую формулу Р(Ā) = q₁
q₂ … q_n, следовательно Р(А)=1 – Р(Ā)=1 – q₁
q₂ … q_n. Тем самым доказана данная
теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события из системы
независимых в совокупности событий А₁, А₂, …, А_n
равна единице минус произведение вероятностей событий, противоположных данным
[1]: 

Р(А) = 1 – q₁ q₂
… q_n,

где  q_i
 = 1 – p_i, p_i  = P(A_i), i = 1, 2, …,
n.

Следствие 1.  Допустим
производится n независимых опытов, в любом из которых определенное
событие А может появиться с вероятностями 
р₁, р₂ , …, р_n  соответственно [2]. Тогда вероятность того,
что событие А  в этих испытаниях
появиться хотя бы один раз, равна