Контрольная работа на тему Применение задачи линейного программирования в экономических системах.

Содержание:

Введение. 2

1. Постановка задачи линейного программирования. 4

2. Определение оптимального решения. 6

3. Симплексный метод. 9

4. Итеративная процедура. 11

5. Двойная проблема и теневые цены.. 19

Заключение. 22

Список использованной литературы.. 23

Введение:

Линейное программирование является недавно
разработанной методикой для обеспечения конкретных численных решений задач,
которые ранее могли быть решены только в расплывчатых качественных терминах с
использованием аппарата общей теории фирмы.

Линейное программирование, таким образом, помогло
преодолеть разрыв между абстрактной экономической теорией и принятием
управленческих решений на практике.

Использование линейного программирования быстро
расширяется за счет использования компьютеров, которые могут быстро решать
сложные задачи, связанные с оптимальным использованием многих ресурсов, которые
даны фирме в каждый конкретный момент времени и тем самым устанавливают
ограничения на выбор фирмы. Линейное программирование можно рассматривать как
оперативный метод работы с экономическими отношениями, включающими разрывы. Это
специфический подход в общих рамках экономической теории.

Основные сходства и различия между традиционным
экономическим анализом и линейным программированием можно выделить следующим
образом. Оба подхода показывают, как экономические агенты (потребители или
производители) достигают оптимального выбора, как они планируют или
программируют свои действия для достижения максимальной полезности,
максимальной прибыли, минимальных затрат и т. Д. Ни экономическая теория, ни
линейное программирование ничего не говорят о реализации оптимального плана или
решения.

Они просто выводят оптимальное решение в любой
конкретной ситуации. В этом смысле оба подхода являются методами ex ante,
направленными на то, чтобы помочь экономическим единицам найти решение, которое
достигнет их цели (максимизация полезности, максимизация прибыли, минимизация
издержек) с учетом их ресурсов (доходов или факторов производства) в любой
конкретный момент.

Однако в экономической теории оптимальное решение
обычно изображается в качественных абстрактных терминах, диаграммах или общих
математических символах, в то время как линейное программирование дает
конкретные численные решения конкретных оптимизационных задач.

Еще одно различие между экономическим анализом и
линейным программированием состоит в том, что отношения экономической теории
обычно нелинейны, изображаются кривыми (а не прямыми линиями), в то время как в
линейном программировании все отношения между рассматриваемыми переменными
считаются линейными.

Недавно были разработаны методы нелинейного
программирования, но их изложение включает в себя сложную математику и не будет
предпринято здесь. Мы проиллюстрируем использование линейного программирования
простым примером фирмы, которая имеет заданное количество трех факторов
производства, с помощью которых она может производить два товара, x и y. Задача
фирмы, учитывая ее ресурсы, состоит в том, чтобы выбрать оптимальный
ассортимент продукции, который максимизирует прибыль фирмы.

Заключение:

Развитие современного общества характеризуется
повышением технического уровня, усложнением организационной структуры
производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких
требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях
только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит
обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.

Одним из необходимых условий дальнейшего развития
экономической науки является применение точных методов количественного анализа,
широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения
математики и современной вычислительной техники находят все более широкое
применение в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует
развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория
игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей
электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и
решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно
развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность
математического программирования.

Одной из основных становится задача создания единой
системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе
широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники
в экономике.

Фрагмент текста работы:

1. Постановка задачи
линейного программирования Предположим, что фирма имеет следующие количества
факторов производства

L = 400 единиц труда (часов)

K = 300 единиц капитала (машинных часов)

S = 1000 единиц земли (квадратных футов)

Фирма может производить либо товар x, либо товар y со
следующими доступными процессами (видами деятельности) Иными словами, для производства одной единицы х
требуется 4 часа труда, 1 машинный час и 2 квадратных фута земли. Точно
так же производство одной единицы y требует 1 часа труда, 1 машинного часа и 5
квадратных футов земли. Товар x дает удельную прибыль в £2, а товар y дает
удельную прибыль в £1, 5. Цель фирмы-выбрать оптимальную товарную смесь, то
есть такую смесь, которая максимизирует ее общую прибыль.

Функция общей прибыли может быть записана следующим
образом:

Z = 2X + 1 Y

где Z = общая прибыль

X = количество товара x (или уровень активности A1)

Y = количество товара y (или уровень активности A2)

2 и 1 — это удельная прибыль двух
товаров. Функция общей прибыли называется целевой функцией, поскольку она
выражает цель фирмы, которая в нашем конкретном примере заключается в
максимизации прибыли. В общем случае целевая функция — это функция,
представляющая цели экономического агента.

Стремясь к максимизации своей целевой функции, фирма
сталкивается с рядом ограничений. Мы различаем две группы ограничений:
технические (или функциональные) ограничения и ограничения неотрицательности.
Технические ограничения устанавливаются состоянием техники и наличием факторов
производства.

Существует столько же технических ограничений,
сколько факторов производства. Они выражают тот факт, что количество факторов,
которые будут поглощены в производстве товаров, не может превышать имеющихся
количеств этих факторов. Таким образом, технологические ограничения принимают
форму неравенств.

В нашем примере техническими ограничениями являются
следующие три:

4X + 1 Y < 400

1x + 1Y < 300

2X + 5Y < 1000

где X и Y-уровни товаров x и y (уровни использования
видов деятельностиa1 и A2), а целые числа в левой части —
технические коэффициенты производства, т. е. Цифры в правой части — это
ресурсы, которыми располагает фирма. Эти ограничения неравенства гласят,
что уровни X и Y в ассортименте оптимальных продуктов не должны требовать
большего, чем доступные количества этих трех ресурсов.

Ограничения неотрицательности выражают необходимость
того, что уровни производства товаров не могут быть отрицательными, поскольку
отрицательные величины не имеют смысла в экономике. Уровень производства
какого-либо одного товара может быть либо нулевым, либо положительным

X > 0

y > 0

Учитывая вышеизложенную информацию, задача линейного
программирования формально может быть сформулирована следующим образом: