Контрольная работа на тему Основные категории статистики.

Содержание:

Введение 3
Основные категории статистики 6
Расчетная часть 10
Заключение 13
Список использованных источников 14

Введение:

Введение
Теория вероятностей — раздел высшей математики, которая изучает закономерности массовых случайных явлений [2].
Очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или другой степени элементы случайности. Как бы точно и обстоятельно не были фиксированные условия опыта, невозможно достичь того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неминуемо сопровождают любое закономерное явление.
Предметом теории вероятностей являются специфические закономерности, которые наблюдаются в случайных явлениях. Практика показывает, что, наблюдая в совокупности однородные случайные явления, мы, как правило, выявляем в них полностью определенные закономерности, то есть стойкости, свойственные именно массовым случайным явлениям.
Методы теории вероятностей не отменяют случайность, непредсказуемость результата отдельного опыта, а дают возможность прогнозировать, с некоторым приближением, средний суммарный результат большого количества однородных случайных явлений.
Цель вероятностных (статистических) методов в том, чтобы, проходя слишком сложное (и нередко практически невозможно) исследование отдельного случайного явления, обратиться непосредственно к законам, которые руководят массами таких явлений.
Изучение данных законов позволяет не только осуществлять прогноз в отрасли случайных явлений, но и целеустремленно влиять на ход этих явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, суживать ее влияние на практику.
Сегодня нет практически ни одной области науки, где тем или иным образом не применялись бы вероятностные методы. В одних науках, относительно специфики предмета и исторических условий, эти методы находят применение раньше, в других — позже. Исторически были основаны вероятностные методы с достаточно примитивным математическим аппаратом еще в XVII ст. во время разработки теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Потом эти методы стали применяться в практике страховых компаний для установления умных размеров страховых премий.
Постепенно отрасль применения вероятностных методов расширялась.
Сегодня данные методы распространяются все более. Целые разделы современной физики (в частности, ядерная физика) базируются на математическом аппарате теории вероятностей. Широко применяются вероятностные методы в современных электронике, радиотехнике, теории связи, теории автоматической регуляции, кибернетике, вычислительной технике, теории автоматизированных систем управления. Это и естественно, поскольку работа современных радиотехнических, электронных систем происходит в условиях случайных влияний, без учета которых невозможны умное проектирование подобных систем, выбор их конструктивных параметров. Любая процедура управления чем-нибудь (техническим устройством, группой устройств, человеко-машинным комплексом) протекает в загодя неизвестных, случайных условиях, неминуемо сопровождается случайными ошибками измерения тех или других параметров, ошибками выполнения команд и и тому подобное; анализ работы такой системы практически невозможен без учета случайных факторов.
Вероятностные и статистические методы достаточно интенсивно применяются в задачах обработки информации, построения стохастических моделей, банковском и страховом делах, маркетинге и менеджменте, оценивании и управлении экономическим риском.
Больше того, биология, физиология, медицина, социология, организация, планирование и управление современным производством, эффективное управление запасами требуют учета объективно существующих случайных факторов и событий и не могут быть решены без использования вероятностных и статистических методов.
Целью данной работы является раскрытие основных категорий статистики.
 

Заключение:

Статистику можно считать одной из наиболее важных прикладных математических наук. Это связано с необходимостью выполнять расчеты и принимать решения в условиях недостатка информации. А такая ситуация встречается практически во всех отраслях знаний.
В настоящей работе рассмотрены основные категории науки статистика. Практически все они связаны с основной категорией – статистической выборкой, ее представлении и анализом.
В практической части работы произведены расчеты некоторых статистических задач.

Фрагмент текста работы:

Основные категории статистики
Математической статистикой называется наука, которая занимается методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными явлениями. Любой такой результат можно представить как совокупность значений, принятых в итоге n опытов, случайной одномерной или многомерной величины.
Основными задачами математической статистики являются [4]:
— определение способов сбора и группировки статистических данных;
— разработка методов анализа полученных данных в зависимости от цели исследования.
К этим методам относятся:
• оценка неизвестной вероятности события;
• оценка неизвестной функции распределения;
• оценка параметров распределения, вид которого известен;
• оценка зависимости от других случайных величин и тому подобное;
• проверка статистических гипотез о виду неизвестного распределения или о значении параметров известного распределения.
Для решения этих задач необходимо выбрать из большой совокупности однородных объектов ограниченное количество объектов, по результатам изучения которых можно сделать прогноз относительно исследуемого признака этих объектов.
Определим основные понятия математической статистики.
Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых проводится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины X. Количество (N) объектов, которые входят в генеральную совокупность, называет объемом генеральной совокупности. Она может состоять из бесчисленного множества объектов.
Выборка — множество случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности. Объемом выборки n называется количество объектов, которые к ней входят. К выборке относится требование, чтобы она адекватно представляла генеральную совокупность, то есть была репрезентативной (представительской).
Учитывая закон больших чисел, можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее создавать случайно, то есть каждый из объектов генеральной совокупности должен одинаковую вероятность попасть в выборку. Очевидно, что можно осуществить в одинаковых условиях оборыш объема n и получить разную совокупность значений случайной величины , …, .
Пусть для генеральной совокупности случайная величина X имеет функцию распределения F(X), тогда каждую из выборок , …, можно рассматривать, как реализацию n -мерной случайной величины , где составляющая есть значение величины X в i -ом опыте. Очевидно, что все компоненты Xi будут иметь одинаковый закон распределения F(X). Поскольку компоненты Xi независимы, то функция распределения n — мерной случайной величины определяется формулой
.
Вариационным рядом называется выборка , полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке роста, то есть . Значение , называют вариантой или i -м членом вариационного ряда.
Признак X, который изучается, может быть дискретным, то есть его значения отличаются на конечную, заведомо известную величину (год рождения, тарифный разряд, количество людей), или непрерывным, то есть его значения отличаются на как угодно малую величину (время, вес, объем, стоимость).
Частотой ni в случае дискретного признака X называют число одинаковых вариант xi, что есть в выборке. В вариационном ряду одинаковые варианты расположены подряд (рис.1).

Рисунок 1 — Вариационный ряд, который содержит одинаковые варианты

Вариационный ряд для дискретного признака X принято наглядно и компактно подавать в виде таблицы, в первой строке которой записывают k разных значений xi исследуемого признака, а во втором — соответствующие этим значениям частоты ni, где . Такую таблицу называют статистическим рядом.
При больших объемах выборки (свыше 50) исходные даны обычно группируют, причем не только в виде статистического ряда, но и так: отрезок R=Xmax — Xmin, который содержит все выборочные значения, и называется размахом варьирования случайной величины X, разбивают на k промежутков, как правило, одинаковой длины . Число промежутков k, на которых разбивают отрезок R, выбирают в зависимости от объема выборки n. Для ориентировочной оценки величины k можно пользоваться такой формулой:
,
которая дает нижнюю оценку величины k и наиболее точна при больших значениях n. Например, при n=100 она дает k>6, а при n=1000 — k>9 .
При этом считают, что каждый промежуток содержит свой правый конец, но лишь первый промежуток содержит и свой левый конец. При таком соглашении каждая точка отрезка содержится в одном и только в одном промежутке. Дальше для каждого промежутка, подсчитывают число элементов выборки, которые попали в него, а результаты подают в виде таблицы (табл. 1), которую называют интервальным статистическим рядом.
Иногда в табл. 1 указывают не интервал, а его середину , а в нижней строке вместо частоты ni записывают относительную частоту .
Таблица 1 — Интервальный статистический ряд
Номер i-го интервала 1 2 … i … k
Границы i-го интервала

…
…
Частота вхождения в i-й интервал

…
…

Очевидно, что сумма частот равняется объему выборки (выборочной совокупности) n, а сумма относительных частот равняется единице:
.
Если в статистическом ряду вместо частот (относительных частот) указать накопленные частоты (относительные накопленные частоты), то такой ряд распределения называют кумулятивным.
Накопленной частотой называется число значений признака, меньших заданного значения x, : n(x)=n(X<x), то есть, число вариант xj в выборке, что отвечают условию xj<x.