Контрольная работа на тему нужно решить типовик (3 задания) Численное дифференцирование, Численное интегрирование, Приближение функций по методу наименьших квадратов

Содержание:

Задание 1. Численное дифференцирование 3
Задание 2. Численное интегрирование 6
Задание 3. Приближение функций по методу наименьших квадратов 9
Список литературы 12

Фрагмент текста работы:

Задание 1. Численное дифференцирование
На отрезке [a,b] задана равномерная сетка Ω_h={x_0,x_1,…,x_n } с шагом h=0,1, причем x_0=a, x_n=b. На Ω_h определена сеточная функция f: f(x_i)=g(x_i),i=0,1,…,n.
Найти приближенные значения:
а) функции f^’ (x_i),
б) функции f^» (x_i)
во всех узлах сетки Ω_h. Воспользоваться разностной аппроксимацией первого порядка точности.
Вычислить погрешность аппроксимации.
Литература, рекомендуемая для изучения темы: [2] стр. 22-25, [3], [4].
Таблица 1.1
Исходные данные
Вариант [a;b] g(x)
4 [1,5;2] 0,3∙cos⁡(3∙x)

Решение
Количество n точек сетки Ω_h при h=0,1 на отрезке [1,5;2] равно 5.
Для разностной аппроксимации производной первого порядка используем следующие формулы:
f^’ (x_i )≈(f(x_(i+1) )-f(x_i ))/h,(1)
f^’ (x_i )≈(f(x_i )-f(x_(i-1) ))/h,(2)
Причём формулу (1) можно применять для значений i=0,1,2,…n-1; формулу (2) можно применять для значений i=1,2,…n.
Таким образом, для точек с номерами i=0,1,2,3,4 используем формулу (1), а для точек с номерами i=5 – формулу (2).
Формула первой производной от заданной функции g(x):
g^’ (x)=-0,9∙sin⁡(3∙x). (3)
Далее представляем все расчётные значения в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Расчётные данные по первой производной функции
x_i 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
f(x_i ) -0,063 0,026 0,113 0,190 0,250 0,288
f^’ (x_i ) 0,895 0,871 0,77 0,6 0,376 0,376
g^’ (x_i ) 0,88 0,897 0,833 0,695 0,496 0,251
f^’ (x_i )-g^’ (x_i ) 0,015 -0,025 -0,063 -0,095 -0,119 0,125

Формула для погрешности ∆_1 аппроксимации:
∆_1=√(1/(n+1)∙(f^’ (x_i )-g^’ (x_i ))^2 ). (4)
Значение погрешности:
∆_1=0,085.
Для разностной аппроксимации производной второго порядка используем следующие формулы:
f^» (x_i )≈(f(x_i )-2∙f(x_(i+1) )+f(x_(i+2) ))/h^2 ,(6)
f^» (x_i )≈(f(x_i )-2∙f(x_(i-1) )+f(x_(i-2) ))/h^2 ,(7)
причём формулу (6) можно применять для значений i=0,1,2,…,n-2; формулу (7) можно применять для значений i=2,3,…n.
Таким образом, для точек с номерами i=0,1,2,3 используем формулу (6), а для точек с номерами i=4,5 – формулу (7).
Формула второй производной от заданной функции g(x):
g^» (x)=-2,7∙cos⁡(3∙x). (3)
Далее представляем все расчётные значения в таблице 1.2.
 
Таблица 1.2
Расчётные данные по первой производной функции