Контрольная работа на тему Математика

Фрагмент текста работы:

Вариант 18
Решить систему уравнений: а) методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
{█(x_1+4x_2-x_3=6,@5x_2+〖4x〗_3=-20,@〖3x〗_1-2x_2+5x_3=-22.)┤
Решение
а) Решим систему методом Крамера.
Найдём главный определитель ∆ системы:
∆=|■(1&4&-1@0&5&4@3&-2&5)|=25+0+48+15+8-0=96≠0,
следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение.
Заменим в главном определителе первый столбец на столбец свободных членов, получим:
∆_1=|■(6&4&-1@-20&5&4@-22&-2&5)|=150-40-352-110+48+400=96.
Заменим в главном определителе второй столбец на столбец свободных членов, получим:
∆_2=|■(1&6&-1@0&-20&4@3&-22&5)|=-100+0+72-60+88-0=0.
Заменим в главном определителе третий столбец на столбец свободных членов, получим:
∆_3=|■(1&4&6@0&5&-20@3&-2&-22)|=-110+0-240-90-40-0=480.

По формулам Крамера находим значения неизвестных системы:
x_1=∆_1/∆=96/96=1;
x_2=∆_2/∆=0/96=0;
x_3=∆_3/∆=480/96=5.
Ответ: x_1=1; x_2=0; x_3=5.

б) Решим систему с помощью обратной матрицы.
Запишем систему в матричной форме A∙X=B, где
A=(■(1&4&-1@0&5&4@3&-2&5)), X=(■(x_1@x_2@x_3 )), B=(■(6@-20@-22)).
Решение матричного уравнения найдем по формуле X=A^(-1)∙B.
Определитель матрицы A:
∆=|A|=|■(1&4&-1@0&5&4@3&-2&5)|=96≠0.
Т.к. определитель матрицы ∆≠0, значит, матрица невырожденная и для неё существует обратная A^(-1).
Найдём обратную матрицу по формуле:
A^(-1)=1/|A| ∙(■(A_11&A_21&A_31@A_12&A_22&A_32@A_13&A_23&A_33 ))