Контрольная работа на тему Математическая статистика в психологии

Содержание:

Теоретическое задание 2
Глоссарий 9
Практическое задание 11

Фрагмент текста работы:

Контрольная работа
по дисциплине «Математическая статистика для психологов»
Вариант 2. (Ж-М)
Теоретическое задание
Провести анализ учебной литературы по теме: «Первичные описательные статистики: меры центральной тенденции, меры изменчивости, меры связи». Написать конспект на заданную тему (6-7 страниц). Составить глоссарий основных понятий.
Описательная статистика позволяет обобщать первичные результаты, полученные при наблюдении или в эксперименте. Процедуры здесь сводятся к группировке данных по их значениям, построению распределения их частот, выявлению центральных тенденций распределения (например, средней арифметической) и, наконец, к оценке разброса данных по отношению к найденной центральной тенденции.
К первичным описательным статистикам (Descriptive Statistics) обычно от¬носят числовые характеристики распределения измеренного на выборке при¬знака. Каждая такая характеристика отражает в одном числовом значении свой¬ство распределения множества результатов измерения: с точки зрения их расположения на числовой оси либо с точки зрения их изменчивости. Основ¬ное назначение каждой из первичных описательных статистик — замена мно¬жества значений признака, измеренного на выборке, одним числом (напри¬мер, средним значением как мерой центральной тенденции). Компактное описание группы при помощи первичных статистик позволяет интерпрети¬ровать результаты измерений, в частности, путем сравнения первичных статистик разных групп.
1. Меры центральной тенденции. Рассматривая методы математической статистики, применяемые для обработки данных тестовых исследований, можно выделить группу методов которые могут описывать те или иные меры центральной тенденции. Такие меры указывают наиболее типичный результат, характеризующий выполнение теста всей группой. Самая известная из таких мер — среднеарифметическое значение (М).
Среднеарифметическое (или выборочное среднее) значение представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута исследованию (выборка испытуемых). Сравнивая среднее значение двух или нескольких групп, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти группы, оцениваемого качества.
Среднеарифметическое определяется по следующей формуле:
М = , где М — среднеарифметическое значение, n — количество испытуемых, ∑ХI – сумма всех результатов.
Другой мерой центральной тенденции является мода (Мо) – наиболее часто встречающийся результат. В интервальном частотном распределении мода определяется как середина интервала, для которого частота максимальна. Следует иметь в виду, что мода представляет собой наиболее часто встречающееся значение, а не частоту встречаемости этого значения. Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений. В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило, мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению. Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей – белый, чёрный, синий металлик, белый, синий металлик, белый – мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.
Третья мера центральной тенденции – медиана (Ме), – результат, находящийся в середине последовательности показателей, если их расположить в порядке возрастания или убывания. Справа и слева от медианы (Ме) в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству данных (50% и 50%). Если ряд включает в себя четное количество признаков, то медианой (Ме) будет среднее, взятое как полусумма двух центральных значений ряда.
Каждая мера центральной тенденции обладает характеристиками, кото-рые делают ее ценной в определенных условиях.
Для номинативных данных, разумеется, единственной подходящей мерой центральной тенденции является мода, или модальная категория – та градация номинативной переменной, которая встречается наиболее часто.
Для порядковых и метрических переменных, распределение которых уни¬модальное и симметричное, мода, медиана и среднее совпадают. Чем больше отклонение от симметричности, тем больше расхождение между значениями этих мер центральной тенденции. По этому расхождению можно судить о том, насколько симметрично или асимметрично распределение. Среднее арифметическое (М), медиана (Ме) и мода (Мо) для нормального распределения обычно совпадают или очень мало отличаются друг от друга. При нормальном распределении результатов график распределения имеет форму колокола.
Наиболее очевидной и часто используемой мерой центральной тенденции является среднее значение. Но его использование ограничивается тем, что на величину среднего влияет каждое отдельное значение. Если какое-нибудь зна¬чение в группе увеличится на с, то среднее увеличится на с/N. Таким образом, среднее значение весьма чувствительно к «выбросам» – экстремально малым или большим значениям переменной.
На величину моды и медианы величина каждого отдельного значения не влияет. Например, если в группе из 20 измерений переменной наибольшее значение утроится по величине, то не изменится ни мода, ни медиана. Вели-чина среднего при этом заметно изменится. Иначе говоря, мода и медиана не чувствительны к «выбросам».
Меры центральной тенденции чаще всего используются для сравнения групп по уровню выраженности признака. Если исследователь при этом со-мневается, какую меру использовать, то можно дать простые советы.
Выборочные средние можно сравнивать, если выполняются следующие условия:
группы достаточно большие, чтобы судить о форме распределения;
распределения симметричны;
отсутствуют «выбросы».
Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполняется, то следует ограничиться модой и медианой. Альтернативой является «сквозное» ранжи¬рование представителей сравниваемых групп и сравнение средних, вычис¬ленных для рангов этих групп.
2. Меры изменчивовости (рассеивания, разброса). Это статистические показатели, характеризующие различия между отдельными значениями выборки. Они позволяют судить о степени однородности полученного множества, о его компактности, а косвенно – и о надежности полученных данных и вытекающих из них результатов. Наиболее используемые в психологических исследованиях показатели: размах, дисперсия и стандартное отклонение.
Размах или исключающий размах (Р) – это интервал между максимальным и минимальным значениями признака. Определяется легко и быстро, но чувствителен к случайностям, особенно при малом числе данных. Это очень неустойчивая мера изменчивости, на которую влияют любые возможные «выбросы».
Дисперсия (Variance) – мера изменчивости для метрических данных, про¬порциональная сумме квадратов отклонений измеренных значений от их арифметического среднего. Чем больше изменчивость в данных, тем больше отклонения значений от среднего, тем больше величина дисперсии. Величина дисперсии получается при усреднении всех квадратов отклонений:
, где Dx– дисперсия Мх – среднее выборки; Xi – конкретное значение; N – число значений.
Следует отличать теоретическую (генеральную) дисперсию – меру измен¬чивости бесконечного числа измерений (в генеральной совокупности, попу¬ляции в целом) и эмпирическую, или выборочную, дисперсию – для реально измеренного множества значений признака. Выборочное значение в стати¬стике используется для оценки дисперсии в генеральной совокупности. Выше указана формула для генеральной (теоретической) дисперсии (Dx) которая, понятно, не вычисляется. Для вычислений используется формула выбороч¬ной (эмпирической) дисперсии (Dx),отличающаяся знаменателем:
, где Dx– дисперсия Мх – среднее выборки; Xi – конкретное значение; N – число значений.
Стандартное отклонение (Std. deviation) (сигма, среднеквадратическое от¬клонение) — положительное значение квадратного корня из дисперсии:
, где σ – стандартное отклонение, Dx– дисперсия Мх – среднее выборки; Xi – конкретное значение; N – число значений.
На практике чаще используется именно стандартное отклонение, а не дис¬персия. Это связано с тем, что сигма выражает изменчивость в исходных еди¬ницах измерения признака, а дисперсия – в квадратах исходных единиц.
3. Меры связи. Предыдущие показатели, именуемые статистиками, характеризуют совокупность данных по одному какому-либо признаку. Этот изменяющийся признак называют переменной величиной или просто «переменной». Меры связи же выявляют соотношения между двумя переменными или между двумя выборками.
Эти связи, или корреляции (от лат. correlatio – соотношение, взаимосвязь), и выявляют через вычисление коэффициентов корреляции (R), если переменные находятся в линейной зависимости между собой. Считается, что большинство психических явлений подчинено именно линейным зависимостям, что и предопределило широкое использование методов корреляционного анализа. Но наличие корреляции не означает, что между переменными существует причинная (или функциональная) связь. Функциональная зависимость – это частный случай корреляции. Даже если связь причинна, корреляционные показатели не могут указать, какая из двух переменных причина, а какая – следствие. Кроме того, любая обнаруженная в психологии связь, как правило, существует благодаря и другим переменным, а не только двум рассматриваемым. К тому же взаимосвязи психологических признаков столь сложны, что их обусловленность одной причиной вряд ли состоятельна, они детерминированы множеством причин.
По тесноте связи корреляции разделяются на полные, частичные или отсутствие связи неполные. Полная (совершенная) –=l. Констатируется обязательная взаимозависимость между переменными. Здесь уже можно говорить о функциональной зависимости. Отсутствие связи – R = 0. Частичная корреляция, когда 0< R констатирует наличие взаимосвязи определённой значимости.
По направлена корреляции разделяются на прямые и обратные. Положительная (прямая) корреляция, когда коэффициент R со знаком «плюс» означает прямую зависимость: увеличение значения одной переменной влечет увеличение другой. Отрицательная (обратная), когда коэффициент R со знаком «минус» означает обратную зависимость: увеличение значения одной переменной влечет уменьшение другой.
Формулы коэффициента корреляции
1. При сравнении порядковых данных применяется коэффициент ранговой корреляции по Ч. Спирмену (р):
, где d – разность рангов (порядковых мест) двух величин; n – число сравниваемых пар величин двух переменных (X и Y).
2. При сравнении метрических данных используется коэффициент корреляции произведений по К. Пирсону (г):
, где Xi – значения, принимаемые Х, Yi – значения, принимаемые Y, Y ̅ – средняя по Y, Х ̅ – средняя по Х,
Рекомендации по анализу коэффициентов корреляции:
– R – это не процент соответствия переменных, а только степень связи.
– Сравнение коэффициентов дает только неметрическуюинформацию, т. е. нельзя говорить, на сколько или во сколько раз один больше или меньше другого. Они сравниваютсяв оценках «равно – неравно», «больше – меньше». Можно сказать, что один коэффициент превышает (слабо, заметно, очень заметно) другой, но какова величина этого превышения говорить нельзя.
– Существуют явления, в которых заведомо известно, чтомежду ними слабая (или сильная) связь. Тогда R приобретает не абсолютный, а относительный характер. Так, для слабой связи R = 0,2 может считаться высоким показателем, а для сильной и R = 0,7 будет считаться низким.
– Иногда и слабая корреляция заслуживает внимания, если это обнаружено впервые, т. е. выявлена новая связь.
– Надежность R зависит от надежности исходных данных.