Контрольная работа на тему Контрольная работа по предмету «Математика»

Фрагмент текста работы:

Контрольная работа
Вариант № 2
Задача № 1
Даны вершины треугольника A(-1; -2); B (7; 4); C (-7; 6). Найти:
а) длину сторон AB и AC;
б) внутренний угол при вершине A;
в) уравнение стороны BC;
г) уравнение высоты AH;
д) уравнение медианы CM;
е) систему неравенств, определяющих треугольник.
Решение
а) Введём в рассмотрение векторы (AB) ⃗, (AC) ⃗.
По формуле (AB) ⃗={x_2-x_1,y_2-y_1 } найдём координаты векторов (AB) ⃗, (AC) ⃗:
(AB) ⃗={7-(-1); 4-(-2)}={8; 6},
(AC) ⃗={-7-(-1); 6-(-2)}={-6;8}.
По формуле |(AB) ⃗ |=√((x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2 ) найдём длины сторон AB и AC:
[AB]=|(AB) ⃗ |=√(8^2+6^2 )=√(64+36)=√100=10 (ед.дл.);
[AC]=|(AC) ⃗ |=√((-6)^2+8^2 )=√(36+64)=√100=10(ед.дл.) .
б) найдём внутренний угол при вершине A как угол между векторами (AB) ⃗, (AC) ⃗ по формуле:
cos⁡〖∠BAC〗=((AB) ⃗∙(AC) ⃗)/(|(AB) ⃗ |∙|(AC) ⃗ | ),
cos⁡〖∠BAC〗=({8; 6}∙{-6;8})/(10∙10)=(8∙(-6)+6∙8)/100=0,
следовательно, ∠BAC=90°.
в) уравнение стороны BC найдём по формуле:
(x-x_B)/(x_C-x_B )=(y-y_B)/(y_C-y_B );
(x-7)/(-7-7)=(y-4)/(6-4)⟹(x-7)/(-14)=(y-4)/2
2(x-7)=-14(y-4);
x-7=-7(y-4);
x-7=-7y+28;
x+7y-35=0 — общее уравнение прямой BC.
г) Найдём уравнение высоты AH.
Так как по условию AH⊥BC, то (BC) ⃗⊥(HA) ⃗, то есть (BC) ⃗ — нормальный вектор прямой AH.
Искомая прямая AH задана точкой A(-1; -2) и нормальным вектором
n ⃗_AH=(BC) ⃗={-14; 2}.
Известно, что координаты нормального вектора есть коэффициенты
A, B, C в общем уравнении прямой Ax+By+C=0.
Подставим в это уравнение координаты нормального вектора
n ⃗_AH={-14; 2},
AH: -14x+2y+C=0.
Чтобы найти значение неизвестного параметра C, используем известную на AH точку A(-1; -2):
-14∙(-1)+2∙(-2)+C=0,
14-4+C=0,
C=-10.
Итак, получим общее уравнение прямой AH:
-14x+2y-10=0,
7x-y+5=0-
уравнение высоты AH.
д) Найдём уравнение медианы CM.
Для этого сначала найдём координаты точки М, которая является серединой стороны AB, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
x_M=(x_A+x_B)/2, y_M=(y_A+y_B)/2 .
Следовательно, x_M=(-1+7)/2=3, y_M=(-2+4)/2=1.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки A_1 (x_1,y_1,z_1 ) и A_2 (x_2,y_2,z_2 ), задаётся формулой:
(x-x_1)/(x_2-x_1 )=(y-y_1)/(y_2-y_1 ),
подставляя координаты точек C (-7; 6), M(3;1) в уравнение прямой, получим:
(x-(-7))/(3-(-7) )=(y-6)/(1-6),
(x+7)/10=(y-6)/(-5) — каноническое уравнение медианы CM.
-5(x+7)=10(y-6),
-(x+7)=2(y-6)
-x-7-2y+12=0,
x+2y-5=0-общее уравнение медианы CM.
е) Составим систему неравенств, определяющих треугольник.
Уравнение прямых AB и AC найдём по формуле уравнение прямой, проходящей через две данные точки A_1 (x_1,y_1,z_1 ) и A_2 (x_2,y_2,z_2 ):
AB: (x-(-1))/(7-(-1) )=(y-(-2))/(4-(-2) ) ,
(x+1)/8=(y+2)/6 -каноническое уравнение прямой AB.
6(x+1)=8(y+2),
3(x+1)=4(y+2)
3x+3-4y-8=0,
3x-4y-5=0- общее уравнение прямой AB.
AC: (x-(-1))/(-7-(-1) )=(y-(-2))/(6-(-2) ) ,
(x+1)/(-6)=(y+2)/8 -каноническое уравнение прямой AC.
8(x+1)=-6(y+2),
4(x+1)=-3(y+2),
4x+4+3y+6=0,
4x+3y+10=0- общее уравнение прямой AC.
x+7y-35=0 — общее уравнение прямой BC.
Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
подставим координаты точки C (-7; 6) в уравнение прямой AB: