Контрольная работа на тему Контрольная работа по предмету: «Математика»

Список литературы:

Контрольная работа

Вариант 6

Задача 1. Найти множества A⋃B, ¯(A⋃B), A⋂B, ¯(A⋂B), A∖B, B∖A, и
изобразить их на числовой прямой, если A=(-∞,4],B=[-2,+∞).
Решение.
Изобразим данные множества на числовой прямой (рисунок 1).
Рисунок 1
Ответ:
A⋃B=(-∞,+∞),
¯(A⋃B)=∅,
A⋂B=[-2,4],
¯(A⋂B)=(-∞,-2)∪(4,+∞),
A∖B=(-∞,-2),
B∖A=(4,+∞).

Задача 2. Найти область определения функции f(x)=√(1+5x-6x^2 ).
Решение.
Областью определения функции является множество значений x, удовлетворяющих неравенству 1+5x-6x^2≥0.
Решим данное неравенство методом интервалов.
1+5x-6x^2≥0,
6x^2-5x-1≤0,
6x^2-5x-1=0,
D=b^2-4ac=25+24=49,
x_1=(5+7)/12=1,
x_2=(5-7)/12=-2/12=-1/6.
(x-1)(x+1/6)≤0.

Отметим на числовой прямой значения x , при которых квадратный трехчлен обращается в 0. Определим его знак в каждом интервале ( рис 2).

Рисунок 2
Таким образом, область определения данной функции
D(f)=[-1/6;1].
Ответ: D(f)=[-1/6;1].

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей:
1) lim┬(n→∞)⁡〖cos⁡(4n+1)/n^4 〗; 2) lim┬(n→∞)⁡〖(5n^3-3n^2-n+1)/(1+4n^2-8n^3 )〗.
Решение.
1) lim┬(n→∞)⁡〖cos⁡(4n+1)/n^4 〗.
Так как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность, то имеем: lim┬(n→∞)⁡〖cos⁡(4n+1)/n^4 〗=lim┬(n→∞)⁡〖1/n^4 ∙〗 cos⁡(4n+1)=0.

Ответ: 0

2) lim┬(n→∞)⁡〖(5n^3-3n^2-n+1)/(1+4n^2-8n^3 )〗.
Разделив числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень многочлена, преобразуем формулу для общего члена к виду: a_n=(5n^3-3n^2-n+1)/(1+4n^2-8n^3 )=(n^3 ((5n^3)/n^3 -(3n^2)/n^3 -n/n^3 +1/n^3 ))/(n^3 (1/n^3 +(4n^2)/n^3 -(8n^3)/n^3 ) )=(5-3/n-1/n^2 +1/n^3 )/(1/n^3 +4/n-8).
Используя теоремы о пределах получаем:
lim┬(n→∞)⁡〖(5-3/n-1/n^2 +1/n^3 )/(1/n^3 +4/n-8)=lim┬(n→∞)⁡(5-3/n-1/n^2 +1/n^3 )/lim┬(n→∞)⁡(1/n^3 +4/n-8) 〗=
=lim┬(n→∞)⁡〖5-lim┬(n→∞)⁡〖3/n-〖lim┬(n→∞) 1/n^2 〗⁡〖+lim┬(n→∞)⁡〖1/n^3 〗 〗 〗 〗/(lim┬(n→∞)⁡〖1/n^3 〗+lim┬(n→∞)⁡〖4/n〗-lim┬(n→∞)⁡8 )=-5/8.
Ответ: -5/8.

Задача 4. Вычислить пределы функций:
1) lim┬(x→∞)⁡〖(7x^2+x-1)/(9x^2-2x+2);〗 2) lim┬(x→3)⁡〖(√(7-2x)-1)/(√x-3)〗;
3) lim┬(x→0)⁡〖(tg 8x)/sin⁡16x 〗; 4) lim┬(x→∞)⁡〖((5x+1)/(5x-2))^x 〗

Решение.
1) lim┬(x→∞)⁡〖(7x^2+x-1)/(9x^2-2x+2).〗
Чтобы избавиться от неопределенности, вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби x в наибольшей степени — x^2 и сократим:
lim┬(x→∞)⁡〖(7x^2+x-1)/(9x^2-2x+2)=(∞/∞)〗=lim┬(x→∞)⁡〖(x^2 (7+1/x-1/x^2 ))/(x^2 (9-2/x+2/x^2 ) )〗=lim┬(x→∞)⁡〖(7+1/x-1/x^2 )/(9-2/x+2/x^2 )〗=
=(7+lim┬(x→∞)⁡〖1/x-lim┬(x→∞)⁡〖1/x^2 〗 〗)/(9-lim┬(x→∞)⁡〖2/x+lim┬(x→∞)⁡〖2/x^2 〗 〗 )=(7+0-0)/(9-0+0)=7/9.
Ответ: 7/9.