Контрольная работа на тему Контрольная работа по предмету: «Математика»

Список литературы:

Контрольная работа

Вариант 7
1. Найдите указанные пределы (не используя правило Лопиталя):
а) .
Решение. При x→∞ получаем неопределенность вида [∞/∞]. Чтобы найти предел дробно — рациональной функции, необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x^(3 ), так как степень x^(3 )– наивысшая степень многочленов, определяющих данную функцию. Применяя основные теоремы и свойства бесконечно малых величин, получаем:
lim┬(x→∞)⁡〖(2x^3+9)/(x^3+x^2+1)〗=[∞/∞]=lim┬(x→∞)⁡〖((2x^3)/x^3 +9/x^3 )/(x^3/x^3 +x^2/x^3 +1/x^3 )〗=
=lim┬(x→∞)⁡〖(2+9/x^3 )/(1+1/x+1/x^3 )〗=(2+0)/(1+0+0)=2.
Ответ: 2.
б)
Решение. При x→3 получаем неопределенность вида [0/0]. Для раскрытия неопределенности разложим числитель дроби на множители, сократим на множитель (x-3), дающий неопределенность (такое сокращение возможно, так как (x-3) при x→3 стремится к нулю, но не равно нулю), и снова перейдем к пределу, подставляя x=3:
lim┬(x→3)⁡〖(x^2-9)/(x^2-6x+9)〗=lim┬(x→3)⁡〖(x-3)(x+3)/(x-3)^2 =〗 lim┬(x→3)⁡〖(x+3)/(x-3)=〗 6/0=∞.
Ответ: ∞

в)
Решение. Подставляя в выражение (2x^2-3x+1)/(x-3x^2+2) приходим к неопределенности вида [0/0]. Для устранения неопределенности разложим многочлены на множители, сократим на множитель, дающий неопределенность, и снова перейдем к пределу, подставляя :
2x^2-3x+1=0
D=b^2-4ac=(-3)^2-4∙2∙1=9-8=1;
x_1,2=(-b±√D)/2a=(3±1)/4;
x_1=1, x_2=1/2.
2x^2-3x+1=2(x-1)(x-1/2);

x-3x^2+2=0
3x^2-x-2=0
D=b^2-4ac=(-1)^2-4∙3∙(-2)=1+24=25;
x_1,2=(-b±√D)/2a=(1±5)/6;
x_1=1, x_2=-2/3.
x-3x^2+2=-3(x-1)(x+2/3).
lim┬(x→-2)⁡〖(2x^2-3x+1)/(x-3x^2+2)=[∞/∞]=〗 lim┬(x→-2)⁡〖2(x-1)(x-1/2)/(-3(x-1)(x+2/3) )=〗
〖=lim┬(x→-2)〗⁡〖2(x-1/2)/(-3(x+2/3) )=〗 (-lim)┬(x→-2) (2x-1)/(3x+2)=-lim┬(x→-2) (-5)/(-4)=-5/4.
Ответ: -5/4.