Контрольная работа на тему Функции, интегралы, дифференциальные уравнения

Содержание:

1. Найти пределы функций ……………………………………………….. 3

2. Дана функция y=f(x). Требуется исследовать ее на непрерывность, найти точки разрыва, если они есть и установить характер разрыва…. 4

3. Найти производную функции ……………………………………………5

4. Проведите полное исследование функции и постройте ее график …..6

5. Найти полный дифференциал функции z=f(x,y) ……………………….9

6. Найти неопределенные интегралы ……………………………………10

7. Вычислить определенные интегралы …………………………………11

8. Вычислить площади фигур, ограниченных данными кривыми …….12

9. Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость) ………………………………………………………….. 13

10. Исследовать сходимость рядов ………………………………………. 14

11. Найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала ……………………………………. 14

12. Решить дифференциальные уравнения ………………………………16

Литература ………………………………………………………………

Фрагмент текста работы:

Вариант 6.

1. Найти пределы функций:

lim┬(x→∞)⁡(√(x^2+3x)-x), lim┬(x→2)⁡(1/(x-2)-12/(x^3-8)), lim┬(x→π/4)⁡〖sin⁡〖x-cos⁡x 〗/(tg x-1)〗.

Решение

lim┬(x→∞)⁡(√(x^2+3x)-x)=(∞-∞)=lim┬(x→∞) (√(x^2+3x)-x)(√(x^2+3x)+x)/(√(x^2+3x)+x)=

(=lim)┬(x→∞) (x^2+3x-x^2)/(√(x^2+3x)+x)=lim┬(x→∞) 3x/(√(x^2+3x)+x)=lim┬(x→∞) (3x/x)/(√(x^2/x^2 +3x/x^2 )+x/x)=

=lim┬(x→∞) 3/(√(1+3/x)+1)=3/(1+1)=3/2;

lim┬(x→2)⁡(1/(x-2)-12/(x^3-8))=(∞-∞)=lim┬(x→2)⁡(1/(x-2)-12/(x-2)(x^2+2x+4) )=

=lim┬(x→2) (x^2+2x+4-12)/(x-2)(x^2+2x+4) =lim┬(x→2) (x^2+2x-8)/(x-2)(x^2+2x+4) =

=lim┬(x→2) (x-2)(x+4)/(x-2)(x^2+2x+4) =lim┬(x→2) (x+4)/(x^2+2x+4)=6/12=1/2;

lim┬(x→π/4)⁡〖sin⁡〖x-cos⁡x 〗/(tg x-1)〗=〖(0/0)=lim┬(x→π/4)〗⁡〖sin⁡〖x-cos⁡x 〗/(sin⁡x/cos⁡x -1)〗=lim┬(x→π/4)⁡〖((sin⁡〖x-cos⁡x 〗 ) cos⁡x)/sin⁡〖x-cos⁡x 〗 〗=

=lim┬(x→π/4) cos⁡x=√2/2.

Ответ: lim┬(x→∞)⁡(√(x^2+3x)-x)=3/2; lim┬(x→2)⁡(1/(x-2)-12/(x^3-8))=1/2;

lim┬(x→π/4)⁡〖sin⁡〖x-cos⁡x 〗/(tg x-1)〗=√2/2.