Контрольная работа на тему Экономико-математические методы и модели

Содержание:

Вопрос 2. Симплекс-метод 3

Вопрос 7. Принцип максимума Понтрягина 4

Вопрос 12. Кооперативные игры 5

Вопрос 17. Системы массового обслуживания с отказами 7

Вопрос 22. Линейный график и способы его построения 8

Вопрос 27. Приложение теории нечетких множеств к решению задач 9

Вопрос 30. Аппроксимация производных 10

Вопрос 32. Элементы разностных схем 11

Вопрос 37. Функции спроса и предложения 12

Вопрос 42. Поведение фирмы в условиях совершенной конкуренции 14

Фрагмент текста работы:

Вопрос 2. Симплекс-метод

Под симплексным методом понимается последовательный переход от одного базисного нахождения системы решений к другому. Эта перестановка повторяется до тех пор, пока переменная величина цели не достигнет своего наибольшего или наименьшего значения. Такой подход является универсальным, его можно использовать для решения любой задачи последовательного программирования.

Симплекс – это выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство на два полупространства).

Основное направление метода заключается в указании способа нахождения опорного решения, переходе к другому, более оптимальному расчёту и определении критериев, позволяющих остановить перебор опорных вариантов.

Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс методом, следующий:

1. Свести поставленную задачу к канонической форме путём переноса свободных членов в правую часть и ввода дополнительных переменных. В случае отрицательных переменных неравенство умножается на -1. Если в записи используется знак «меньше или равно», переменная используется положительная, в противном случае – отрицательная.

2. В зависимости от количества вводимых значений все переменные принимаются за основные. Их необходимо выразить через неосновные и перейти к базовому решению.

3. Через неосновные переменные выражается функция цели.

4. Если при решении отыскивается ответ с максимумом или минимумом линейной формы и все неосновные переменные получаются только положительными, то задача считается выполненной.

5. Если найденный максимум (минимум) линейной формы в функции имеет одну или несколько неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, необходимо перейти к новому базисному решению.

6. Из переменных, входящих в форму с отрицательными или положительными коэффициентами, выбирается наибольшая (по модулю) и переводится в основные.

Другими словами, указывается оптимальное опорное решение, способ перехода от одного нахождения ответа к другому, варианты улучшения расчётов. После нахождения первоначального решения с «единичным базисом» вычисляется оценка разложения векторов по базису и заполняется симплексная таблица.

В тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи, используют метод с искусственным базисом. Это симплекс-метод с так называемой М-задачей (ММЭ), решаемый способом добавления к левой части системы уравнений искусственных единичных векторов. При этом новая матрица должна содержать группу единичных линейно-независимых векторов.

Вопрос 7. Принцип максимума Понтрягина

Принцип максимума Понтрягина – это определенного типа необходимое условие экстремума, которое дает возможность среди всех возможных допустимых процессов выделить те, которые могут претендовать на роль оптимальных. Для определенного класса задач управления принцип максимума является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности.

Алгоритм применения принципа максимума Понтрягина

1. Составить гамильтониан:

Н (t,ψ(t),x(t),u (t))= ∑_(i=1)^n▒〖ψ_i (t)× f_i 〗 (x ⃗(t),u ⃗(t),t)-F(x ⃗(t),(u(t),t)) ⃗

2. Найти структуру оптимального управления u^* (t)= u^* (t,ψ(t),x(t))

из условия максимума гамильтониана по управлению:

(∂Н (t,ψ(t),x(t),u (t)))/∂u=0

3. Составить систему канонических уравнений:

x ̇^* (t)=(∂Н (t,ψ(t),x^* (t),u^* (t)))/(∂ψ_i )=f_i (x^* (t),u^* (t),t),

ψ ̇^* (t)=(∂Н (t,ψ(t),x^* (t),u^* (t)))/(∂x_i^* ),i= (1,n) ̅

4. Получить недостающие краевые условия из условия трансверсальности:

δФ(t_1^* )× δt_1+ ∑_(i=1)^n▒〖ψ_i (t_1^* )×δx_i 〗=0

5. Решить двухточечную краевую задачу, полученную в п. 3, с учетом п. 2 и п. 4.