Другое на тему Приближенные решения ОДУ с помощью Эрмитовой интерполяции

Содержание:

Глава 1. Интерполирование функций 3
1.1. Интерполяция и экстраполяция 3
1.2. Эрмитова интерполяция 6
Глава 2. Основные методы приближенного решения дифференциальных уравнений 11
2.1. Краевые задачи 11
2.2. Задача Коши 17
Глава 3. Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью эрмитовой интерполяции 21
3.1. Вывод основных формул 21
3.2. Вычислительные эксперименты 21
Список литературы 22

Фрагмент текста работы:

Экстраполяция и интерполяция используется для оценки гипотетических значений переменной на основе сторонних наблюдений. Есть множество способов их использования, которые основаны на общей тенденции наблюдения данных. Несмотря на схожесть в названиях, между ними существует большое различие.
Чтобы определить разницу между экстраполяцией и интерполяцией, мы должны смотреть на префиксы «экстра» и «интер». Приставка «экстра» буквально означает – «за пределами» или в «дополнение к». Приставка «интер» означает – «между» или «среди». Зная это можно легко различать методы между собой.
Для обоих методов предполагается несколько начальных условий. Сначала необходимо определить, что будет независимой, а что зависимой переменной для нашего случая. С помощью сбора данных находится сдвоенный ряд их значений. Также необходимо сформулировать модель для исходных данных. Все это может быть записано в таблицу для наилучшей наглядности. Затем строится график зависимости. Они зачастую представляет собой произвольную кривую, которая приближенно характеризует данные. В любом случае, есть функция, которая связывает независимую переменную с зависимой [8].
Целью этих превращений является не только сама модель. Как правило, ее используют для прогнозирования. В частности, необходимо учитывать независимую переменную, которая будет прогнозируемым значением соответствующей ей зависимой переменной. Выходное значение нашей независимой переменной будет показывать, правильно ли была использована экстраполяция или интерполяция.
Интерполяция.
Мы могли бы использовать нашу функцию для прогнозирования значения зависимой переменной для независимой переменной, которая находится в середине наших данных. В этом случае мы выполняем интерполяцию.
Предположим, что данные с x между 0 и 10 используются для получения линии регрессии y = 2 x + 5. Мы можем использовать эту линию наилучшего соответствия для оценки значения y, соответствующего x = 6. Просто вставьте это значение в наше уравнение, и мы увидим, что y = 2(6) + 5 =17. Поскольку наше значение x находится в диапазоне значений, используемых для построения линии наилучшего соответствия, это является примером интерполяции. [3]
Можно использовать полученную функцию, чтобы предсказать значение зависимой переменной для независимой, которая является неявно выраженной. В этом случае используется метод интерполяции.
Предположим, что значение х между 0 и 10 используется для создания функции:
у = 2x + 5;
Мы можем использовать эту функцию для наилучшей оценки величины у, соответствующей значению х=6. Для этого просто подставим это значение в исходное уравнение. Несложно увидеть результат:
у = 2 (6) + 5 = 17;
Экстраполяция.