Другое на тему Комбинации окружности с геометрическими фигурами

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 4
1 Окружность и ее элементы 6
2 Вписанная и описанная окружность 24
3 Свойства вписанных и описанных четырехугольников 29
4 Решение задач 36
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ 44

Введение:

Cамая простая из всех кривых линий — окружность, которая является одной из древнейших геометрических фигур. Этим обусловлена актуальность выбранной темы.
Целью работы выступает исследование окружности, ее комбинаций с другими фигурами геометрии.
Определим эти понятия и комбинации с помощью следующих поставленных задач:
— дать определение окружности, ее элементов и всех фигур планиметрии, используемых в нашем исследовании;
— рассмотреть случаи вписанности и описанности окружностей и четырехугольников;
— показать особенности решения тематических задач на примере ЕГЭ.
На основе выше сказанного, объектом исследования является окружность, как один из базовых субъектов планиметрии.
Изучение возможного расположения, то есть комбинации, окружности с другими плоскими геометрическими фигурами будет предметом нашего исследования.
Гипотеза исследования определяет, что для успешного решения геометрического блока ЕГЭ необходим аппарат знаний по теме курсовой работы.
Теоретическая часть курсовой работы основана пособиях по планиметрии, указанных в списке литературы.
В практическую часть вошли материалы по подготовке к ЕГЭ из интернет-ресурсов.
Перечислим методы, используемые в работе над темой:
• теоретический анализ тематической литературы;
• исследование интернет-ресурсов;
• рассмотрение решения задач ЕГЭ.
Практическая значимость исследования заключается в систематизации обширного теоретического материала по теме применимо к практическому решению конкретных задач ЕГЭ.
Работа имеет традиционную структуру и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы

Заключение:

Практически с полной уверенностью можно сказать, что, хотя бы одна задача на окружность обязательно встречается на ЕГЭ по математике профильного или базового уровня. В профильном варианте ЕГЭ такие задачи встречаются под номерами 3, 6, 16 и, как эти ни странно, 18. Последнее задание ассоциируется обычно с параметрами, но окружность может иногда помочь решить такого рода задания. Конечно, задачи на окружность в ЕГЭ могут попасться и в заданиях по стереометрии, но в этой работе мы рассмотрели задания, связанные с планиметрией. Решение планиметрических задач — это первый шаг в освоении мастерства.
Все задания, которые мы рассмотрели, — это задания из реальных вариантов ЕГЭ по математике, либо из сборника по подготовке, 2020 года издания.
Таким образом выдвенутая ранее гипотеза полностью подтвердилась. Цель курсовой работы достигнута, поставленные задачи освещены полностью, а классифицированный теоретический материал может быть использован при подготовке к государственному экзамену.

Фрагмент текста работы:

Окружность — это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки: эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность) в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.
Практическое построение окружности возможно с помощью циркуля.

Расположение окружности
Очевидно, что через одну точку (A, рис. 1) можно провести сколько угодно окружностей: центры их можно брать произвольно. Через две точки (A и B, рис. 2) тоже можно провести сколько угодно окружностей, но центры их нельзя брать произвольно, так как точки, одинаково удалённые от двух точек A и B, должны лежать на срединном перпендикуляре к отрезку AB.Теорема 1.1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.
Через три точки A, B и C (рис. 3), только тогда можно провести окружность, если существует такая четвёртая точка O, которая одинаково удалена от точек A, B и C.
Докажем, что если A, B и C не лежат на одной прямой (другими словами, если точки A, B и C являются вершинами треугольника), то такая точка O существует и притом только одна. Для этого примем во внимание, что всякая точка, одинаково удалённая от точек A и B, должна лежать на срединном перпендикуляре M N, проведённом к стороне AB; точно так же всякая точка, одинаково удалённая от точек B и C, должна лежать на срединном перпендикуляре PQ, проведённом к стороне BC. Значит, если существует точка, одинаково удалённая от трёх точек A, B и C, то она должна лежать одновременно и на M N, и на PQ, что возможно только тогда, когда она совпадает с точкой пересечения этих двух прямых. Прямые MN и PQ всегда пересекаются, так как они перпендикулярны к пересекающимся прямым AB и B C. Точка O их пересечения и будет точкой, одинаково удалённой от A, от B и от C; значит, если примем эту точку за центр, а за радиус возьмём отрезок OA (или OB, или OC), то окружность пройдёт через точки A, B и C. Так как прямые MN и PQ могут пересечься только в одной точке, то центр такой окружности может быть только один, и длина её радиуса может быть только одна; значит, искомая окружность — единственная.