Другое на тему Философия и методология науки

Фрагмент текста работы:

Философия и методология науки
1.Философия и проблема обоснования математики
Замечательным аспектом математической работы является возможность создания полезных взаимодействий между различными областями. Этот аспект, который мы можем назвать единством математики, является отличительным аспектом современной математики. Инструменты и идеи, которые выявляются благодаря этой глобальной точке зрения, настолько сильны, что позволяют преодолеть аристотелевскую оговорку о различном роде, например, между геометрией и арифметикой. Более того, рождение современной математической логики и необходимость держать вместе очень обширное и разрозненное развитие математики были среди причин, которые позволили и подтолкнули к основополагающим программам начала прошлого века. Тем не менее история сорвала эти основополагающие усилия. Были обнаружены не только противоречия, но и глубокая и неразрешимая напряженность между синтаксисом и семантикой: две очень новые ветви математического запроса. Можно сказать, что все основополагающие программы не увенчались успехом в том смысле, в каком они были задуманы [6].
Пресутствующие фундаментальные запросы все еще открыты, и есть математические проблемы, которые имеют основополагающий вкус. Эта ситуация требует объяснения того, что такое фонд и как его можно предложить сегодня. Мы думаем, что среди многих причин, которые толкают к фундаменту математики, есть цель, которая является общей для каждого фонда, то есть для формирования математического поля. Под этим мы подразумеваем, что любой вид фундамента, если он не определяет, то, по крайней мере, различает математическую и нематематическую работу и, в некотором роде, характеризует математическую практику как определенную и подчиняющуюся определенным правилам. Именно в этом смысле, что мы можем найти проблемы для единства математики и в основополагающем контексте, и мы считаем, что это общий аспект всех различных основ математики.
Чтобы объяснить это понятие единства, мы можем увидеть, как оно реализуется в контексте наиболее распространенного основания математики: теории множеств. Этот характер теории множеств всегда подчеркивался многими людьми. При всем этом, набор теоретических основ по-прежнему играть важную объединяющую роль: смутные конструкции выполнены точнее, старые теоремы даны новые доказательства и единая с другими теоремами, которые ранее казались вполне внятные, подобные гипотезы проверяются на основе разрозненных математических полей, существование вопросов получают явный смысл, недоказуемые домыслы могут быть определены, новые гипотезы могут свести старые открытые вопросы, и так далее. То, что теория множеств играет эту роль, занимает центральное место в современной математике, то, что она способна играть эту роль, пожалуй, самый замечательный результат поиска оснований.
Всегда вместо описания почти «стандартного» теоретического фундамента, после которого каждый математический объект должен быть множеством, мы предлагаем взглянуть на теорию множеств как на средство, дающее основание математической практике. Действительно, универсальность теоретико-множественного языка, т. е. возможность формализовать любую часть математики внутри теории множеств и найти теоретико—множественный суррогат для любого математического объекта, не имеет априори никакого онтологического значения [3,c.88]. Теория множеств не должна быть предназначена здесь как только ZFC, как это часто бывает, когда теория множеств называется аргументом для стандартного основания, но как общий метод, который использует установленные теоретические принципы для анализа математической практики. В рамках этого метода мы также включаем обратную математику и все полезные теоретические предположения, иногда называемые аксиомами, которые расширяют ZFC. Очевидно, что термин «теория» здесь является злоупотреблением языком с логической точки зрения, потому что мы не думаем ни о последовательном наборе предложений, ни о интуитивной теории с ее предполагаемой интерпретацией. Мы имеем в виду общий метод, который широко и иногда молчаливо используется в математической практике.