Дипломная работа (бакалавр/специалист) на тему Определённый интеграл и методика его изучения в школьном курсе математики.

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Определенный интеграл и некоторые его обобщения 6
1.1 Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства 6
1.2 Вычисление определенного интеграла 12
1.2.1 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле 14
1.2.2 Метод замены переменной в определенном интеграле 15
1.3 Тройной интеграл как обобщение определенного интеграла, его свойства, геометрический смысл и вычисление 17
1.3.1 Определение тройного интеграла 17
1.3.2 Свойства тройного интеграла 21
1.3.3 Вычисление тройного интеграла в декартовых, сферических, цилиндрических координатах 22
Глава 2. Методика обучения определенного интеграла в школьном курсе математики 32
2.1 Методики введения понятия определенного интеграла в школьном курсе математики 32
2.2 Методические особенности упражнений для проведения контрольных и самостоятельных работ по теме «Определенный интеграл» 45
2.3 Конспект урока математики по теме «Определенный интеграл» в 11 классе 50
Заключение 58
Список использованной литературы 61
Приложение 66
Приложение 1 66

Введение:

Актуальность темы. Согласно ФГОС [7] в старших классах общеобразовательных школ вводятся основные понятия математического анализа, такие как «предел», «производная» и «интеграл», но содержание обучения является неравномерно распределенным. Например, основные понятия дифференциального исчисления вводятся в 10-м классе, а понятие интеграла предлагают изучать в 11-м классе. Большой временной промежуток между изучением производной и первообразной затрудняет понимание и представление учащимися связей между отдельными темами и их практическое значение. Также еще одной из главных проблем при изучении понятия «интеграл» является его высокий уровень абстрактности, что затрудняет восприятие понятия и снижает заинтересованность учащихся.
Тему «Определенный интеграл» по программе ФГОС изучают в 10 и 11 классе. Основная цель изучения темы «Определенный интеграл» в школьном курсе математики – ввести понятие о первообразной и интеграле; операции интегрирования, как обратной к операции дифференцирования; показать применение интеграла к вычислению площадей криволинейных трапеций и объемы простейших тел вращения.
Не все термины, вводимые в этой теме, соответствуют тем, которыми пользуются в курсах математического анализа высшей школы. Программа и действующие школьные учебные пособия не предусматривают четкое разделение и использование отдельно терминов «неопределенный интеграл», «определенный интеграл». В основном применяется один термин «интеграл» в понимании «определенный интеграл». Часто не используется символ неопределенного интеграла ∫▒〖f(x)〗 dx. Для символа интеграла f(x)dx внедряются следующие обозначения и термины: а и b – пределы интегрирования; f – подынтегральная функция; х – переменная интегрирования. Однако содержание множителя и термин «дифференциал аргумента» не вводятся. Связано это с тем, что понятие дифференциала аргумента и функции в школьном курсе не изучают. В связи с этим остается объяснить ученикам, как читать выражение∫▒〖f(x)〗 dx, и предложить им воспринимать этот символ как единственный для обозначения интеграла.
Программа предусматривает ознакомление учащихся с применением интеграла, прежде всего, для вычисления площадей плоских фигур. Опыт показывает, что когда фигура, площадь которой нужно вычислить, является криволинейной трапецией стандартного вида (ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу – отрезком [a;b] оси Ox, отрезками прямых, x=a, x=b, то у учащихся не возникает трудностей в решении такой задачи. Проблемы возникают тогда, когда фигура размещена между графиками функций y=f(x), y=g(x) или находится частично или полностью под осью Ox. Чем больше будет построено таких фигур и найдено их площадей, тем лучше усвоится материал. Но ограниченное время урока требует от учителя осуществления тщательного отбора материала, средств и методов обучения для обеспечения эффективности учебного процесса на уроке.
Кроме вычисления площадей криволинейных трапеций, в школьном курсе рассматривается и такое применение определенного интеграла, как вычисление объемов тел вращения. Во время преподавания этой темы важно, чтобы учащиеся представляли и могли построить тела вращения, объемы которых необходимо найти.
На данный момент изучения темы «Определенный интеграл» в средней школе содержит много проблем методического характера, что выражается в формальности усвоенных знаний и отрыва от практических задач, а также наличием противоречий между научным изложением темы и ее доступностью. В этом заключается актуальность выбранной темы исследования: «Определённый интеграл и методика его изучения в школьном курсе математики».
Объект исследования: определенный интеграл и его обобщения.
Предмет исследования: методика изучения понятия определенного интеграла в школьном курсе математики и его применение к решению задач.
Цель работы – раскрыть сущность методики введения понятия определенного интеграла в школьном курсе математики, рассмотреть методические особенности упражнений для проведения контрольных и самостоятельных работ по теме «Определенный интеграл».
Для достижение поставленной цели необходимо решение следующих задач:
1. Проанализировать научную и методическую литературу по данной теме исследования.
2. Раскрыть сущность понятия «определенный интеграл», «тройной интеграл», их свойства, геометрический смысл, способы вычисления.
3. Описать методику введения понятия определенного интеграла в школьном курсе математики.
4. Рассмотреть методические особенности упражнений для проведения контрольных и самостоятельных работ по теме «Определенный интеграл».
5. Разработать конспект урока по теме «Определенный интеграл».
6. На основе исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
теоретические методы: теоретический анализ научной и методической литературы;
практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы. Общий объем составляет 75 страниц.

Заключение:

В данной выпускной квалификационной работе был рассмотрен вопрос о методических подходах к изучению определенного интеграла в классах естественнонаучного профиля. В ходе исследования получены следующие результаты:
1. Приведены основные теоретические сведения об определенном интеграле: определение, свойства, схемы применения при решении задач.
2. Проанализированы школьные учебники математического анализа, с точки зрения введения понятия интеграл и наличия прикладных задач выбранного профиля. По результатам анализа можно сделать следующие выводы:
– при введении понятия определенного интеграла авторы учебников используют два подхода: интеграл как предел интегральных сумм (у большинства авторов) и интеграл как приращение первообразной;
– в школьных учебниках представлены задачи, которые раскрывают физический и геометрический смысл интеграла. Прикладные задачи из естественнонаучный области рассматриваются редко.
3. Рассмотрены особенности изучения математики в рамках естественнонаучного профиля и установлено, что
– обучающимся естественнонаучных классов свойственны такие особенности: как восприятие предмета как целого, гибкость мыслительной деятельности, логическое и чувственное восприятие объекта. При решении задачи они обращают внимание на соответствие ее условия реальной действительности;
– учебный материал и систему упражнений необходимо адаптировать к особенностям и интересам школьников данного профиля;
– время, отводимое на изучение математических дисциплин, сокращается в связи с увеличением часов, отводимых на изучение дисциплин естественного цикла.
4. Рассмотрены особенности работы с прикладными задачами, связанные с требованиями, предъявляемыми к ним, и этапами их решения.
5. Подобраны прикладные задачи из естественнонаучной области, которые могут быть использованы как подводящие задачи при введении понятия «Определенный интеграл»;
6. Составлены прикладные задачи для проведения самостоятельных и контрольных работ по выбранной теме;
7. Представлен конспект урока в 11 классе на тему «Определенный интеграл».
Как можно заметить из рассмотренных задач, различных по смыслу и практическому содержанию, их объединяет единая методика решения, в результате применения которой необходимо вычислять пределы. Используя приведенные задачи, учитель может организовать урок обобщения и систематизации знаний или контрольный урок по теме интеграла.
Таким образом, учитель может использовать данные задачи на уроках:
 при введении понятия «Определенного интеграла» наряду с задачами, представленными в учебниках «Алгебра и начала анализа»;
 при отработке метода вычисления интеграла с помощью интегральных сумм;
 для самостоятельной или домашней работы.
Решение задач прикладного характера способствует лучшему пониманию и усвоению теоретического материала, развитию умения применять теорию на практике. Также обучающиеся учатся моделировать представленную ситуацию, переводить на математический язык содержание задачи.
Стоит отметить, что целесообразно обратить внимание учащихся на то, что интеграл зависит только от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования и не зависит от переменной интегрирования.
Для активизации познавательной деятельности учащихся можно предложить самостоятельно доказать некоторые свойства интеграла, а также рассмотреть задачи из учебников геометрии и физики, в решение которых используется интеграл.
Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод о том, что изучение первообразной и интеграла позволяет обучающимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умения извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, а также самостоятельно выполнять различные творческие работы.
По итогам исследования можно сделать вывод о том, что применение прикладных задач в обучении математике, в частности, при изучении определенного интеграла, реализует несколько целей:
– учит обучающихся применять математические методы в различных областях (в частности – естественнонаучной), что способствует формированию метапредметных умений;
– раскрывает смысл математических объектов с новой стороны;
– помогает сделать более разнообразной систему задач, тем самым, повышает интерес к изучаемому материалу и предмету;
– обеспечивает прикладную направленность обучения.
Таким образом, цель, поставленная в работе, достигнута, задачи решены.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Определенный интеграл и некоторые его обобщения

1.1 Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства

Понятие определенного интеграла возникло в связи с решением геометрических задач (о вычислении площади криволинейной трапеции) и физических (об определении пути, пройденного точкой во время прямолинейного движения по ее известной мгновенной скоростью; работу переменной силы; массу неоднородного стержня). Решение их сводится к выполнению предельного перехода определенного типа.
Определение 1. [2] Если существует конечный предел интегральных сумм S_n, когда λ→0, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на участки ∆x_i, ни от выбора точек ξ_i, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) функции f на отрезке [a;b] и обозначают символом:
∫_a^b▒〖f(x)dx〗=lim┬(λ→0)⁡∑_(i=1)^n▒〖f(ξ_i )∆x_i 〗 (2)
В этом случае функцию f называют интегрированной на отрезке [a;b]. Здесь числа a и b называют нижним и верхним пределом интегрирования; функцию f – подынтегральной функцией; f(x)dx – подынтегральным выражением; x – переменной интегрирования; [a;b] – промежутком интегрирования.
Интегральная сумма S_n, а, следовательно, и ее предел (2) не зависят от того, какой буквой обозначен аргумент функции f. Это означает, что определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования [2]:
∫_a^b▒〖f(x)dx〗=∫_a^b▒〖f(t)dt〗=∫_a^b▒〖f(z)dz〗

Замечание 1. 1. В определении определенного интеграла функция f не обязательно непрерывная и неотрицательная на [a;b].
2. Это определение не подтверждает существование определенного интеграла для любой функции f, определенной на[a;b]. В нем лишь говорится о том, что когда граница интегральной суммы существует для заданной на [a;b] функции f и при произвольном способе разбития отрезка [a;b], и при произвольном выборе точек и она одна и та же. В таком случае эту границу зовут определенным интегралом функции f на отрезке [a;b]. [1]
Теорема 1. (необходимое условие интегрированности). Если функция f интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке [3].
Замечание 2. Обратное утверждение ложное: существуют функции, которые ограничены на отрезке, но не интегрированы на нем. Примером такой функции является функция Дирихле [7]:
D(x)={█(1,x∈Q,@0,x∈R\Q)┤
Пример 1. Пусть для функции f(x) на отрезке [a;b] существует
∫_a^b▒〖|f(x)|dx〗
Интегрирована ли эта функция на отрезке [a;b]? [5]
Решение. Нет, не обязательно. Поскольку, например для функции:
f(x)={█(1,x∈Q,@-1,x∈R\Q)┤
Но функция f(x) на отрезке [a;b] не интегрированная (см. замечание 2).
Теорема 2. (достаточное условие интегрированности). Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрирована на этом отрезке [3].
Условие непрерывности функции является достаточным условием ее интегрированности. Однако множество интегрируемых функций значительно шире.
Теорема 3. (достаточное условие интегрированности). Если функция f ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нем везде, кроме конечного количества точек, то она интегрирована на этом отрезке [3].
Теперь рассмотрим основные свойства определенного интеграла [9,12,13]:
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
∫_a^b▒〖f(x)dx〗=0 (3)
2. От перестановки пределов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный:
∫_a^b▒〖f(x)dx〗=-∫_a^b▒〖f(x)dx〗 (4)
3 (аддитивность определенного интеграла). Если функция f интегрирована на самом большом из отрезков [a;b], [a;c] [c;b], то правдивое равенство:
∫_a^b▒〖f(x)dx〗=∫_a^c▒〖f(x)dx〗+∫_c^b▒〖f(x)dx〗. (5)
4 (линейность). Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
∫_a^b▒〖Cf(x)dx〗=C∫_a^b▒〖f(x)dx〗 (6)
5 (линейность). Определенный интеграл от суммы интегрируемых функций равен сумме определенных интегралов от этих функций:
∫_a^b▒〖(f(x)dx〗+g(x))dx=∫_a^b▒〖f(x)dx〗+∫_a^b▒〖g(x)dx〗. (7)
6 (сохранение знака подынтегральной функции определенным интегралом). Если всюду на отрезке [a;b] имеем f(x)≥0 (a<b), то:
∫_a^b▒〖f(x)dx〗≥0. (8)
7 (монотонность определенного интеграла). Если везде на отрезке [a;b] имеем f(x)≤g(x)(a<b), то:
∫_a^b▒〖f(x)dx〗≤∫_a^b▒〖g(x)dx〗 (9)
8. Если функция f интегрирована на отрезке [a;b] (a<b), то
|∫_a^b▒f(x)dx|≤∫_a^b▒〖|f(x)|dx〗. (10)
Свойства 1 и 2, которые принимают по определению, обобщают понятия определенного интеграла для a=b и a>b [9].
Для правильного введения определенного интеграла целесообразно объяснить геометрический смысл интеграла [1]: это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком [a;b] оси х и прямыми линиями x=a,x=b, то есть
S=∫_a^b▒〖f(x)dx〗
Пусть неотъемлемая функция y=f(x), определена и непрерывна на отрезке [a;b], где a и b – конечные числа.