Дипломная работа (бакалавр/специалист) на тему Методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики

Содержание:

Введение 3
Глава 1. Теоретический аспект обучения действительным числам в школьном курсе математики 6
1.1 Возникновение понятия действительного числа 6
1.2 Способы определения действительного числа 9
1.2.1 Теория Кантора (фундаментальные последовательности) 9
1.2.2 Теория Вейерштрасса (бесконечные десятичные дроби) 11
1.2.3 Теория Дедекинда (теория сечений на множестве рациональных чисел) 12
1.3 Анализ школьных учебников по теме исследования 14
1.4 Анализ опыта методистов по изучению действительных чисел в школьном курсе математики 25
Глава 2. Методика обучения действительным числам в школьном курсе математики 29
2.1 Методика введения понятия действительного числа в школе 29
2.2 Методика введения множества действительных чисел в школьном курсе математики 36
2.3 Построение системы упражнений для подготовки к ОГЭ по теме «Действительные числа» 39
2.4 Практическая реализация системы упражнений для подготовки к ОГЭ по теме «Действительные числа» в 9 классе 48
Заключение 59
Список использованной литературы 61

Введение:

Актуальность темы. Как и любой раздел математики, теория действительных чисел важна курсе школьной математики. Тема «Действительные числа» есть базой для алгебры средней школы, поскольку без нее не возможно дальнейшее обучение. Ознакомление с множеством действительных чисел – это завершительный этап в изучении теории числовых систем в школьном курсе.
Понятие действительного числа важно не только для алгебры, но и для геометрии, поскольку оно лежит в основе метрической геометрии и измерения геометрических величин.
В рабочих программах по алгебре к учебникам для 7-8 класса главной целью изучения темы «Действительные числа» есть: обобщить и систематизировать полученные знания о множествах рациональных и иррациональных чисел.
Если говорить непосредственно о ФГОС [1] общего образования, то в его требованиях к математической подготовке учащихся нет конкретных указаний на наличие знаний выпускника о действительном числе, как таковом. Указываются лишь требования к знаниям о свойствах квадратных корней и умениям их преобразовывать в выражении.
То есть можно говорить о том, что возникает некая проблема в том, что нет полного обобщения понятия множества действительных чисел как числовой системы. Все это приводит к тому, что дети хуже воспринимают курс школьной математики, без полноценного понимания числовых систем и их взаимосвязи. Отсюда возникает необходимость разработки методики обучения темы «Действительные числа» в школьном курсе математики, в чем и заключается цель данной работы.
Также важно овладение навыками решения задач по теме исследования, что является важным условием не только успешной сдачи ОГЭ по математике но, это необходимо и для дальнейшего изучения курса высшей математики.
Как известно, при обучении учащихся решению заданий по теме «Действительные числа» возникают некоторые трудности в отыскании решений того или иного задания, методов и способов решения. Так что этот вопрос является достаточно актуальным в школьном курсе математики. Все это и определяет актуальность и тему курсовой работы: «Методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики».
Объект исследования: методика преподавания математики.
Предмет исследования: методика изучения понятия действительного числа, его применение в школьном курсе математики, а также к решению задач в ОГЭ.
Цель работы – изучить понятие действительного числа, его сущность, а также рассмотреть методические особенности его применения в школьном курсе математики, а также к решению задач в ОГЭ по математике.
Достижение поставленной цели будет предполагать решение следующих задач:
1. Исследовать и проанализировать научную литературу по данной теме.
2. Раскрыть сущность понятия «действительное число», «множество действительных чисел».
3. Описать и систематизировать основные аксиомы, теоремы, способы определения действительного числа.
4. Проанализировать школьные учебники по алгебре на особенности выкладки темы «Действительные числа».
5. Подобрать примеры для иллюстрации рассматриваемого понятия, а также показать методические особенности решения заданий с применением понятия действительного числа в заданиях ОГЭ по математике с провидением соответствующего эксперимента в школе и на основе исследования сделать соответствующие выводы.
Методы исследования:
— теоретические методы: теоретический анализ научной и методической литературы;
— практические методы: количественный и качественный анализ результатов исследования.
Практическая значимость работы состоит в выявлении методических особенностей введения понятия действительного числа в школьном курсе математики, а также разработки системы упражнений, которая бы помогла в подготовке к ОГЭ, применена учителями и студентами в ходе педагогической практики.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы. Общий объем составляет 63 страницы.

Заключение:

На основе проведенного исследования, хотелось бы отметить необходимость дальнейшего изучения теории действительных чисел исходя из важности области применения понятия «действительное число» в процессе подготовки к ОГЭ по математике.
В квалификационной работе «Методика изучения действительных чисел в школьном курсе математики» был систематизирован теоретический материал об действительном числе и множестве действительных чисел. Рассмотрены также примеры применения исследуемого понятия к решению уравнений и неравенств к заданиям ОГЭ.
Также на основе исследования можно сделать следующие выводы:
1. Понятие действительного числа определяется существующими для него математическими соотношениями. Если они установлены, то определено и понятие действительного числа. В этом и заключается аксиоматический подход к определению действительного числа как множества элементов, обладающих некоторыми наперед заданными свойствами. А классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел, бесконечные десятичные дроби, сечения в области рациональных чисел являются лишь конкретными реализациями, моделями действительного числа.
2. Пропедевтика понятия бесконечной десятичной дроби в школьном курсе математики практически отсутствует.
Практическая часть учебников подобранная так, что результат от деления чисел всегда конечен (а если бесконечен, значит «не делится»). Поэтому учитель должен учитывать данный нюанс и проводить работу по пропедевтике, для того чтобы дети в дальнейшем имели возможность полноценно понимать суть понятия действительного числа.
3. Схема введения множества действительных чисел на практике громоздкая. Для непрофильных классов рациональным будет выполнение этих шести пунктов на более простом математическом языке без углубления в доказательства.
4. Понятие действительного числа используется во многих разделах, но систематизировано. Понятие действительного числа в «Иррациональные выражения» в разделе «Алгебра» еще в главе «Задания повышенного уровня» (максимальное количество заданий по теме «Действительные числа»), «Преобразования алгебраических выражений» а также в нескольких заданиях по геометрии в разделе «Длины», «Площадь», «Тригонометрия».
5. В работе было рассмотрено много иллюстративных примеров. Поэтому, цель курсовой работы достигнута, а задачи, поставленные в начале, выполнены.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретический аспект обучения действительным числам в школьном курсе математики

1.1 Возникновение понятия действительного числа

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, содержала только натуральные числа и их отношения (пропорции, в современном понимании – положительные рациональные числа). Однако оказалось, что для задач геометрии и астрономии их недостаточно. Например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны (которое равняется ) не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом [2].
Чтобы как-то выйти из положения Эвдокс Книдский ввел, в дополнение к теории, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объема. Теория Эвдокса дошла до нас в трудах Эвклида («Начала», книга V).
По сути, теория Эвдокса – это геометрическая модель действительных чисел. С современной точки зрения, при таком подходе число есть отношение двух однородных величин, например, исследуемой и единичного эталона. Однако нужно заметить, что Эвдокс не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин.
Классическая теория Дедекинда построения действительных чисел по своим принципам очень похожа на выкладки Эвдокса. Но модель Эвдокса неполная во многих отношениях – например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др. [25]
В первые века н. э. ситуация стала меняться. Уже Диофант Александрийский, вопреки предыдущим традициям, рассматривает дроби, как и натуральные числа, а в IV книге «Арифметика» даже утверждает: «Число оказывается не рациональным» [2].
После распада античной науки на первый план вышли индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно стали доминирующими и в средневековой Европе [3], где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные),числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.). Полное уравнение в правах иррациональных чисел связано с трудами Симона Стевина (конец XVI века) [2]. Он же, с некоторыми замечаниями, легализовал отрицательные числа, а также развил теорию и символику десятичных дробей.