Содержание:

ВВЕДЕНИЕ. 3

ГЛАВА I.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ.. 6

1.1 Метод
математического моделирования в школьном курсе математики. 6

1.2 Сюжетная
задача как объект моделирования в школьном курсе математики  12

1.3
Вспомогательные модели для решения сюжетных задач. 14

1.4
Математические модели, используемые при решении сюжетных задач. 29

Выводы по
первой главе. 37

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ.. 39

2.1 Сравнительный анализ учебников математики для учащихся
5–6 классов на предмет использования моделирования при решении сюжетных задач. 39

2.2 Методика работы с разными видами моделей при обучении
решению сюжетных задач в курсе математики 5-6 классов. 48

Выводы по
второй главе. 56

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 57

СПИСОК
ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 62

Введение:

Актуальность
исследования. Решение сюжетных задач является важнейшим видом учебной
деятельности, в процессе которой усваиваются математические знания, умения и
навыки. Сюжетные задачи в значительной степени направляют и стимулируют
учебно-познавательную активность учащихся.

В
ФГОС говорится о том, что результаты изучения предметной области «Математика»
должны отражать умения моделировать реальные ситуации на языке алгебры,
исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры,
интерпретировать полученный результат.

В
последнее время в школе уделяется все больше внимания обучению школьников
общим, универсальным методам решения задач, потому что эти умения позволяют,
как расширить круг решаемых задач, так и формирует важнейшие универсальные
учебные действия, которые делают успешным не только изучение математики, но и
весь процесс школьного образования. Более того, этим закладываются основы для
самообразования в течение всей жизни, которое становиться всё актуальнее для
современного человека.

Учебные
программы ставят одной из важнейших целей школьного математического образования
формирование у школьников умения строить математические модели простейших
реальных процессов и изучать эти процессы по их математическим моделям. При
этом важны как алгоритмическая, так и эвристическая составляющие в деятельности
учащихся, раскрытие их творческого потенциала, природных способностей, формирование
познавательных интересов к предметам. Моделирование, являясь универсальным
способом познания, способно связать изучение различных предметов в процесс
познания учеником окружающего мира, а осознание этого делает обучение для
школьника процессом осмысленным, увлекательным, необходимым.

Поиски
моделей обучения решать сюжетные задачи, адекватные современным требованиям
общества, потребностям и интересам личности, составляют одну из актуальных
проблем методики обучения математике. При этом на первый план выдвигаются
задачи разработки теоретических основ методической системы обучения решения сюжетных
задач по таким категориям как цели, содержание, методы, организационные формы и
методы обучения. Вопрос о целях решения сюжетных задач является центральным в
методике обучения математике. Его изучением занимались в разные годы В.А.
Евтушевский, Н.А. Менчинской, М.И. Моро, Е.С. Ляпин, Л.М. Фридман и другие
психологи и методисты. Решение сюжетных задач рассматривался преимущественно
как средство формирования системы математических понятий. Именно на этой основе
и была разработана М.В. Богдановичем методика решения задач в начальной школе.
Но на современном этапе развития школьного математического образования на
первый план выдвигается цель формирования у учащихся общего подхода, общего
умения решать разнообразные задачи. Следовательно, существует необходимость
разработки методической системы обучения решения задач, соответствующей этой
цели.

Данный
вопрос является актуальным в связи с тем, что нормативно-правовые документы
ориентируют систему образования на формирование у учащихся прочных
теоретических знаний и практических умений и навыков по решению различных задач
в школе как построения крепкого фундамента для решения реальных жизненных
ситуаций. Этому вопросу уделяли внимание такие ученые, педагоги-методисты, как:
Богданович М. В., Бантова М. О, Пышкало А. М., Эльконин Д.Б., Давыдов В.В.,
Петерсон Л. Г., Скворцова С. А. и другие

Объект
исследования: процесс обучения математике в основной школе.

Предмет
исследования: математическое моделирование при решении сюжетных задач в 5-6
классах.

Цель
исследования: выявить методические особенности обучения учащихся решению сюжетных
задач в 5-6 классах методом математического моделирования.

Задачи
исследования:

—        проанализировать понятия математического
моделирования;

—        раскрыть понятие, виды и функции
моделей;

—        представить классификацию сюжетных
задач;

—        привести анализ программы и школьных
учебников по теме исследования;

—        рассмотреть примеры сюжетных задач,
решаемых методом математического моделирования.

Для
решения задач были использованы следующие методы исследования: анализ
педагогической и методической литературы, школьных программ; изучение опыта
работы учителей математики отечественной школы по данной теме исследования;
сравнительный анализ учебников и учебных пособий; обобщение и систематизация
материала.

Заключение:

1.      В данной работе выполнен анализ понятия
математической модели, рассмотрено понятие математического моделирования. Под
математическим моделированием будем понимать описание какого-либо реального
процесса, явления или ситуации на математическом языке.

2.      Сформулировано определение сюжетной
задачи. Под сюжетной задачей будем понимать описание некоторой реальной
ситуации или явления на естественном языке с требованием и вопросом, на который
необходимо найти ответ, опираясь и учитывая условия, которые указаны в задаче.

3.      Рассмотрены основные учебные умения
учащихся основной школы при решении сюжетных задач методом математического
моделирования:

—        планирование  собственной деятельности;

—        восприятие и анализ учебной информации;

—        мотивация на каждом этапе собственной
деятельности;

—        грамотное оформление полученных
результатов;

—        осуществление контроля над собственной
деятельностью.

4.      Приведены различные классификации сюжетных
задач и адекватных им математических моделей, а именно: классификации сюжетных
задач по числу действий, по числу данных и искомых, по фабуле задачи, по
способу решения, по математическим моделям, по алгебраическим моделям, по видам
познавательного интереса.

5.      Представлен сравнительный анализ учебников
алгебры учащихся 5-6 классов относительно метода математического моделирования
при решении сюжетных задач.

6.      Рассмотрены основные этапы решения сюжетных
задач. Сформулированы основные методические особенности применения
математического моделирования при решении сюжетных задач.

7.      Представлен набор сюжетных задач, решаемых
методом математического моделирования.

Решение
сюжетных задач является одним из важных средств формирования у учащихся системы
основных математических знаний, умений и навыков, одним из основных средств их
математического развития. В современном обществе, в котором происходит
математизация наук, одним из методов повышения уровня математического образования
становится освоение учащимися метода математического моделирования. Способность
понимать одно явление чрез другое лежит в основе метода математического
моделирования как способа познания.

Проблема
моделирования в учебной деятельности состоит в том, что оно является не только
содержанием, которое должны освоить учащиеся в ходе учебного процесса, но и
методом для получения новых знаний, которым они должны овладеть для дальнейшего
успешного обучения. Федеральные государственные образовательные стандарты
второго поколения говорят нам о том, что нужно научить учащихся учиться, чему и
способствует метод моделирования, являющийся общим приемом решения задач
(составное универсальное логическое действие). Это подтверждается некоторыми
требованиями, предъявляемыми к разделу «математика»: развитие умений работать с
учебным математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую
информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической
терминологии и символики; развитие умения моделировать реальные ситуации на
языке алгебры, исследовать построенные модели с использованием аппарата
алгебры, интерпретировать полученный результат; формирование умений
формализации и структурирования информации, умения выбирать способ
представления данных в соответствии с поставленной задачей – таблицы, схемы,
графики, диаграммы.

Обычно,
детей учат решать конкретные виды задач по образцу, но, столкнувшись с новым,
ранее не изученным видом задачи, учащиеся испытывают затруднения. А в процессе
решения задачи как деятельности, задача выступает не как объект решения, а как
объект анализа и изучения, позволяющий формировать действия, входящие в этот
процесс. В этом случае поиск информации проводится в форме исследовательской
деятельности, при которой неизвестно не только решение, но и процесс его
нахождения. Задачи – это сложные системные объекты, поэтому выяснение их
элементарного состава и структуры является обязательной частью исследования.
Задачи можно и целесообразно рассматривать как знаковые модели проблемных ситуаций
[там же, С. 6].

Моделирование
– это творческий процесс, поэтому, если не указывать конкретный вид модели, то
учащиеся выбирают разнообразные формы как моделей текста, так и математических
моделей, что обусловлено не только целесообразностью в зависимости от характера
задачи, но и индивидуальными особенностями учащихся. При решении сюжетных
(сюжетных) задач методом моделирования, у учащихся формируется творческий
подход к решению не только этих, но и других задач.

Как
показывают исследования, ребенок рано начинает овладевать умением замещать
объекты в игре, в речи, в изобразительной деятельности. Этот факт направил
внимание педагогов и психологов на разработку и использование моделирования в обучении.
Специфичность метода моделирования состоит в том, что он может применяться в
различных областях детской деятельности: в игре, конструировании, рисовании и
т.д. Одно из важнейших умений, которым должен обладать учащийся – это
логическое универсальное учебное действие – общий прием решения задач – моделирование.
Оно формируется, в частности, и при решении сюжетных задач. Решение таких задач
начинается еще в начальной школе. И уже тогда необходимо начать уделять  внимание обучению решению сюжетных задач
методом моделирования. Так, в старших классах, когда уровень обобщения станет
довольно высоким и будет сложно сразу представить мысленную модель того или
иного объекта, у учащегося будет сформирован навык построения модели.
Моделирование сюжетной задачи – это использование средств наглядности для
вычисления величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для
установления связей между ними. Если моделирование – это метод и средство
познания, то тогда набор сюжетных задач – это один из полигонов, на котором
отрабатывается действие моделирования, а умение решать задачи выступает одним
из критериев сформированности действия моделирования.

В
процессе решения задачи выделяют три этапа математического моделирования.

Первый
этап математического моделирования, связанный с 
выявлением зависимостей между искомыми и данными, является наиболее
сложным и часто вызывает затруднения. Для облегчения процесса решения задачи
сначала строится модель текста задачи (рисунок, схема, таблица.), а затем, с ее
помощью, строится математическая модель задачи.

При
построении модели текста задачи проводят анализ ее содержания, и само ее
построение выступает в качестве эффективного средства такого анализа. Модель
текста задачи должна нести информацию о существенных в данной ситуации
признаках объектов задачи, а так же позволять видеть связь между величинами, о
которых идет речь в задаче, и допускать практические преобразования.

Период
обучения в начальной школе является наиболее удачным этапом для начала обучения
визуально воспринимаемому моделированию. Причем если обучение моделированию
организовать до начала обучения решению задач, то в дальнейшем можно эффективно
использовать усвоенные принципы построения моделей при формировании умения
решать сюжетные задачи.

Для
того чтобы решить задачу, ученик должен уметь переходить от текста к
представлению ситуации, а от него – к записи решения с помощью математических
символов. В данном случае речь идет о трех различных моделях одного и того же
объекта – задачи, которые различаются тем, что выполнены на разных языках:
языке слов, языке образов и языке математических символов.

С
этой позиции процесс обучения решению задач можно рассматривать как обучение
приемам перевода моделей одного вида в модели другого вида, а моделирование
выступает в качестве обобщенного способа решения задач любого типа.

Кроме
того, моделирование способствует развитию следующих компетенций:

•        технологической (способности понимать и
четко соблюдать инструкции и алгоритмы, умению «свернуть» информацию в схему,
таблицу, план);

•        информационной (способности искать и
извлекать информацию из различных источников, делая выводы на ее основе и
используя в своей деятельности);

•        проектной (способности анализировать
ситуацию, выделяя проблемы и выдвигая идеи, планируя и оценивая результаты
своей деятельности).

Подводя
итоги проделанной работы, можно утверждать, что цели достигнуты.

Фрагмент текста работы:

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ
СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ В 5-6 КЛАССАХ

1.1 Метод математического
моделирования в школьном курсе математики

Понятие
"моделирование" является объектом исследования в философии,
психологии, педагогике и других областях науки и техники. Над проблемой
выяснения содержания этого понятия трудились такие ученые как Н. М. Амосов, С.
И. Архангельский, В. А. Веников, Л. Г. Калапуша А. М. Кочергин, А. И. Липкин,
А. Д. Мышкис, А. А. Самарский, В. А. Штоф и др.

Значительный
вклад в становление и развитие метода моделирования на разных этапах развития
человечества внесли Г. Галилей, И. Ньютон, М. Фарадей, Дж. Максвелл, В.
Кельвин, Г. Лоренц, Э. Резерфорд, А. Эйнштейн, Н. Бор и др. Моделирование было
одним из основополагающих методов в теориях Эйнштейна. Решающим этапом к
созданию последовательных атомных теорий послужила предложенная Н. Бором модель
атома водорода.

Как
считает А М. Кочергин, после того, как был осознан сам факт необходимости
использования моделирования, оно начало превращаться в универсальный метод
познания, завоевывая статус гносеологической категории и становясь по праву
составной частью теории познания. По своему характеру моделирование близко к
аналогии и эксперименту, абстрагированию и идеализации, однако имеет вполне
самостоятельное значение.

Одной
из главных задач современной методики обучения математике является выделение
общих методов познания и общих способов учебной деятельности с тем, чтобы
сделать их предметом обучения математике. Это возможно осуществить, привлекая к
учебному процессу математическое моделирование. О целесообразности такого вида
деятельности свидетельствуют и дидактический анализ и опыт реализации такого
подхода в обучении. Таким образом, можно утверждать, что широкое применение
метода математического моделирования является вполне оправданным в обучении
математике. Кроме того, построение курса математики на основе идеологии
математического моделирования способствует установлению гармоничных
межпредметных связей различного характера.

По
словам известного американского ученого Р. Куранта, математика изучает модели,
то есть мыслительные конструкции реального мира. Например, геометрия предлагает
модели, которые описывают, отражают различные аспекты окружающего пространства.

Идеи
и методология математического моделирования возникли в 40-50-е годы XX века и
продолжают развиваться. Учредителями методологии математического моделирования
были А. Н. Колмогоров, А. Н. Тихонов. А. А. Самарский, Б. В. Гнеденко. Еще в
70-80-х годах прошлого века пришли к мысли о необходимости обучения
математическому моделированию учащихся общеобразовательной школы.

Известный
советский математик, профессор А. Н. Колмогоров, рассматривая вопрос о
современной математике и обучение ее в школе, отмечал: «Ориентируясь на
будущее, необходимо уже сейчас строить школьный курс так, чтобы ученики были
подготовлены к восприятию новых аспектов прикладной математики …. Задача
состоит в том, чтобы уже в школе убедительно доказать, что «современная
математика» позволяет строить математические модели реальных ситуаций и
процессов, изучаемых в приложениях, не только не хуже, но логичнее
последовательнее и проще, чем традиционная».

Профессор
психологии Л. Н. Фридман считал, что моделирование помогает преодолеть
трудности, возникающие при решении задач: «Эти трудности могут быть, во-первых,
чисто психологического характера, связанные со сложностью задачи … Для
преодоления этих трудностей используют всевозможные модели в виде схем,
чертежей и т.п., которые называются вспомогательными моделями задачи …
во-вторых, трудности могут быть содержательного характера, когда субъект для
решения данной задачи заменяет ее другой — ее моделью, которую можно назвать
решающей».

В
течение двадцати последующих лет необходимость обучения математического
моделирования уже полностью одобрено научным и образовательным сообществом.

Основополагающие
идеи прикладной математики и основные методические положения обучения с
применением математики раскрыто в работах Ю. М. Колягина, В. М. Монахова, В. А.
Стукалова, С. И. Шварцбурда, В. В. Фирсова.

Методике
решения задач на основе моделирования уделено большое внимание в работах Ю. М.
Колягина — советского математика-педагога, автора учебников и пособий по
математике и методики ее преподавания, который считает, что умение решать
прикладные задачи образует сложный комплекс умений, важнейшие из которых:
умение анализировать данную ситуацию, соотносить известные элементы с
неизвестными, выявлять скрытые свойства и связи, конструировать вспомогательные
модели, выражать гипотезы, догадки, интерпретировать результаты. В его работах
описывается необходимость разработки конкретной методики обучения учащихся
решению задач.

В
методической теории и практике последних лет осуществлялись исследования по
развитию умений математического моделирования в процессе обучения учащихся по
направлениям, отражающим различные точки зрения на математическое моделирование
в современных исследованиях по методике преподавания естественно-математических
дисциплин.

Механизмы
исследования методов математического моделирования и использования в различных
областях науки и техники нашли отражение в трудах В. М. Глушкова, Б. В.
Гнеденко, А. Н. Колмогорова, Г. М. Морозова, А. Н. Тихонова и других
исследователей. Аспекты исследования математических моделей средствами
информационно-коммуникационных технологий, в частности методическое обеспечение
и методика обучения, разработаны Н. И. Жалдаком, Е. И. Машбиц, Г. А. Михалиним,
Н. В. Морзе, С. А. Раковым и другими методистами-учеными. Методическую систему
формирования знаний и умений математического моделирования в процессе математической
и методической подготовки учителей математики в условиях
личностно-ориентированного обучения освещены в исследованиях Л. Л. Панченко.

Моделирование
– это процесс построения моделей, т.е. один из видов деятельности (по
определению П.В. Трусова, В.В. Давыдова и Н.Г. Салминой). Моделированием также
называют изучение с помощью модели соответствующих явлений, процессов, систем
объектов, т.е. их оригиналов. Таким образом, моделирование является методом
познания интересующих нас качеств объекта, явлений, событий (В.В. Давыдова, А.У
Варданян). В среднем образовании понятие моделирование используется в широком
смысле слова: моделирование – это замена действий с реальными предметами
действиями с их образцами, моделями, макетами, а также с чертежами, схемами,
таблицами и т.д. П.В. Трусов относит к процессу моделирования построение и
использование модели [3,18].

Являясь
общим приемом изучения действительности, моделирование позволяет эффективно
формировать такие приемы умственной деятельности как классификация, сравнение,
анализ и синтез, обобщение, абстрагирование, индуктивные и дедуктивные способы
рассуждений, что в свою очередь стимулирует в перспективе интенсивное развитие
словесно-логического мышления [5, 43-47].