Аттестационная работа (ИАР/ВАР) на тему Особенности обучения темы «Площади многоугольников» в школьном курсе математики

Содержание:

Введение. 3

Глава 1.
Теоретические основы обучения теме «Площади многоугольников» в школьном курсе
математики. 5

1.1.
Исторические аспекты изучения темы «Площади многоугольников». 5

1.2.
Психолого-педагогические особенности учащихся при изучении темы «Площади
многоугольников» в школьном курсе математики. 10

1.3. Анализ
учебников математики по теме исследования. 16

Вывод по
первой главе. 23

Глава 2.
Практические особенности обучения теме «Площади многоугольников» в школьном
курсе математики. 25

2.1. Место
темы «Площади многоугольников» в школьном курсе математики  25

2.2.
Методические аспекты обучения теме «Площади многоугольников» в современных
условиях. 28

2.3.
Экспериментальная работа по обучению учащихся теме «Площади многоугольников». 43

Вывод по
второй главе. 47

Заключение. 49

Список
литературы.. 52

Приложения. 55

Приложение 1. 55

Приложение 2. 57

Введение:

Актуальность темы
исследования. В математическом
образовании геометрия является одним из самых сложных и важных предметов в
школьном курсе математики. Тема «Площади многоугольников» в школьном курсе
математики является одной из основополагающих тем школьного курса. При этом
данная тема излагается достаточно объемно и масштабно, включает множество
упражнений, заданий и задач. Данная линия включает множество понятий,
определений, терминов, а также формул и методов решения. Данная линия тесно
связана со многими другими основополагающими математическими линиями учебного
курса.

Изучение многоугольников являются важной частью
обучения, поскольку данная тема помогает учащимся лучше понимать геометрию и
окружающие закономерности. Важно заметить, что изучение темы «Площади многоугольников» способствует
общему развитию учащихся, развитию их логического и теоретического мышления,
развития логики и формирования причинно-следственных связей.

В школьном курсе геометрии основной школы
рассматриваются геометрические фигуры на плоскости и их свойства, немалое
внимание направлено на изучение понятия многоугольника, его различных видов и
свойств многоугольников. В 5-6 классах для учащихся многоугольник становится
учащихся объектом изучения элементам алгебры.

Однако в настоящее время в обучении математике отмечается
тот факт, что степень усвоения знаний учащимися по этой дисциплине недостаточно
высокая. Таким образом, для учащихся сдающих экзамены по математике задачи по
геометрии доставляют значительные трудности. Зачастую учащиеся не могут
правильно сделать чертеж к геометрической задаче, выдвинуть гипотезу для ее
решения, доказать их. Особенно проблемы изучения геометрии отражаются при
подготовке к ОГЭ. Плохо зная планиметрию, в дальнейшем у учащихся могут
возникнуть проблемы с подготовкой к сдаче ЕГЭ по математике.

Исходя из этого, в школьном курсе математики важно
уделить особое внимание методике обучения учащихся теме «Площади
многоугольников». Поэтому тема работы является актуальной.

Объект
исследования: методика обучения
математике.

Предмет
исследования: особенности обучения
темы «Площади многоугольников» в школьном курсе математики.

Цель исследования: теоретически обосновать особенности обучения темы
«Площади многоугольников» в школьном курсе математики и провести
опытно-экспериментальную работу.

Задачи
исследования:

1. Проанализировать
исторические аспекты изучения темы «Площади многоугольников».

2. Рассмотреть
психолого-педагогические особенности учащихся при изучении темы «Площади
многоугольников» в школьном курсе математики.

3. Проанализировать
учебники математики по теме исследования.

4. Рассмотреть место
темы «Площади многоугольников» в школьном курсе математики.

5. Провести и
проанализировать результаты опытно-экспериментальной работы.

Методы
исследования: анализ
научно-методической и психолого-педагогической литературы по теме исследования,
синтез, систематизация, обобщение, интерпретация, качественный и количественный
анализ результатов опытно-экспериментальной работы.

Структура
исследования: работа состоит из
введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение:

Итак, в ходе выполнения данной работы были получены
следующие результаты и сделаны следующие выводы:

1. Проанализировав исторические аспекты изучения темы
«Площади многоугольников» было выявлено, что уже 4-5 тысяч лет назад были
известны формулы для измерения площадей прямоугольника, треугольника,
произвольного четырехугольника, трапеции. Формулы для вычисления площади фигур
в древности отличались от формул, изучаемых сегодня в школьном курсе геометрии.
Только древние египтяне для измерения площади прямоугольника, треугольника и
трапеции пользовались аналогичными приемами, что и мы. У всех народов, кроме
древних китайцев, единицей измерения площади была площадь квадрата со стороной,
равной единице длины. До нашего времени дошла древнейшая задача Дидоны, которая
до сих пор изучается в школьном курсе геометрии в классах с углубленным
изучением математики. Использовались два метода решения геометрических задач –
метод разложения и метод дополнения, которыми мы пользуемся и в настоящее
время.

2. Изучив психолого-педагогические особенности
учащихся при изучении темы «Площади многоугольников» в школьном курсе
математики мы узнали, что средний школьный возраст – это самый благоприятный
для творческого развития. Развитие подростка – это многогранный, сложный,
системный процесс. Творческая идентичность, ощущение себя творческой личностью,
как правило, начинается в подростковом возрасте и продолжается на протяжении
всей жизни. Эта идентичность служит прямым мотивирующим фактором для
приобретения необходимых навыков и продолжения творческих начинаний.

3. Анализ учебников математики по теме исследования
показал, что . при изучении данной темы
учащиеся основной школы должны овладеть такими понятиями как площадь
многоугольника, знать основные формулы вычисления площади правильного
треугольника, площади равнобедренного треугольника, площади прямоугольного
треугольника, площади квадрата, площади прямоугольника, площади ромба, площади
прямоугольной трапеции, площади равнобедренной трапеции, площади произвольной
трапеции, площади правильного шестиугольника.

4. При изучении темы «Площади многоугольников»
основными являются следующие цели: дать учащимся систематические сведения о
четырехугольниках и их свойствах; формировать у учащихся понятие площади
многоугольника, развивать умение вычислять площади фигур, применяя изученные
свойства и формулы; формировать аппарат решения прямоугольных треугольников,
который необходим для вычисления элементов геометрических фигур. Основное внимание при изучении темы «Площади
многоугольников» при обучении геометрии уделяется формированию практических
навыков вычисления площадей многоугольников в ходе решения задач.

5. В современных условиях развития образования
методика обучения учащихся теме «Площади многоугольников» имеет также свои
особенности. Главной задачей педагога при организации эффективного
учебного процесса в школе является внедрение в изучаемый материал занимательных
моментов, элементов новизны и неизвестности, что помогает развитию
познавательного интереса и формированию познавательных потребностей. На основе
анализа литературы можно обозначить следующие технологии, применяемые в школе
на уроках математики по теме «Площади
многоугольников»: проектно-исследовательская технология,
игровые технологии, исторический материал, информационные компьютерные
технологии, задачи межпредметного характера, интерактивные методы
обучения и т.д.

6. В экспериментальной проверке принимали участие
учащиеся 8 классов. Экспериментальная проверка включала 3 этапа:
констатирующий, формирующий, контрольный. В экспериментальной проверке приняло
участие 20 детей. Результаты диагностики показали, что у учащихся 8 класса
преобладают средний и низкий уровни знаний: по 45% детей (всего 18 чел.).
Высокий уровень выявлен только у 2-х учащихся, что составляет 10% от общего
количества. Формирующий этап включал организацию работы с
учащимися по теме «Площади многоугольников» в соответствии с методическими
аспектами обучения теме «Площади многоугольников» в современных условиях.

В рамках контрольного этапа эксперимента была
проведена повторная диагностика. Итак, результаты контрольного этапа
эксперимента позволяют судить о положительной динамике формирования знаний
учащихся по теме «Площади многоугольников». То есть процесс формирования знаний
учащихся по теме «Площади многоугольников» в процессе обучения математики
станет эффективнее, если добавить в него разнообразные задания на основе
современных технологий.

Таким образом, цель работы достигнута, задачи решены.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Теоретические основы обучения теме «Площади
многоугольников» в школьном курсе математики

1.1. Исторические аспекты изучения темы «Площади
многоугольников»

Планиметрические знания древних египтян и вавилонян
относились к измерению площадей и объемов простых геометрических фигур,
встречающихся при межевании земель, возведении стен и насыпей, строительстве
плотин, каналов и т.д. Сохранились планы земельных участков, разделенных на
треугольники, прямоугольники, трапеции. Их площади были рассчитаны как по
точным правилам, так и приблизительно.

Еще 4-5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять
площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Стандартом для
измерения площадей был квадрат, благодаря его замечательным свойствам: равные
стороны, равные и прямые углы, симметрия и общее совершенство формы [6].

Также 4000 лет назад древние египтяне использовали
почти те же методы, что и мы, для измерения площади прямоугольника,
треугольника и трапеции: основание треугольника делили пополам и умножали на
высоту; для трапеции сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на
высоту [5]. Рисунок 1 – Пример четырехугольника

Площадь четырехугольника вычислялась по формуле: где a, b, c, d — стороны четырехугольника, то есть
умножались полусуммы противоположных сторон (Рис.1) [27].

Г.И. Глейзер указывает, что с помощью данной формулы
можно точно вычислить лишь площадь прямоугольника, для других же
четырехугольников, у которых углы близки к прямым углам, площадь можно
вычислить лишь приближенно [3]. Для вычисления площади равнобедренного
треугольника ABC, причем |AB|=|AC|,
египтяне пользовались приближенной формулой: Данная формула была применима лишь для треугольников с
малым углом при вершине.

Измерение площадей многоугольников проводилось
аналогично измерению длин отрезков. У всех народов единицей измерения площади
была площадь квадрата со стороной, равной единице длины. Лишь в Древнем Китае
такой единицей служил прямоугольник со сторонами 13 бу и 16 бу (1 бу — около  м) [11].

Евклид в «Началах» не употреблял слова «площадь», под
словом «фигура» понималась часть плоскости, ограниченная той или иной замкнутой
линией. Единица измерения площади у Евклида не подразумевалась числом, он
выражал единицу измерения путем сравнения площади разных фигур между собой [13].

Евклид, как и другие ученые древности, занимался
преобразованием одних фигур в другие, равные им. Решая задачу построения
квадрата, равного любому заданному, Евклид оперировал самими квадратами, а не
числами, выражающими эти площади. Извлечение квадратного корня для Евклида было
сделано не алгебраически, а геометрически: извлечь квадратный корень из числа
означало построить стороны квадрата, площадь которого равна площади данного
многоугольника [30].

Задача Дидоны (или изопериметрическая задача) является
одной из древнейших задач, связанных с площадями. Это задача о нахождении
фигуры наибольшей площади, ограниченной кривой заданной длины (периметра).
«Изопериметрические фигуры – фигуры, имеющие одинаковый периметр». Ответ на
данную задачу дает теорема: «Среди всех замкнутых кривых данной длины
наибольшую площадь охватывает окружность». В школьном курсе геометрии
рассматривается доказательство теоремы, приведенное Штейнером [14].

При решении задач пифагорейцы применяли метод
приложения площадей, которые сводились к решению линейных и квадратных
уравнений. С отрезками, которыми были основными (неопределяемыми) понятиями
геометрической алгебры, могли быть осуществлены четыре арифметические операции:
сложение, вычитание, умножение и деление. Деление интерпретировалось как
эквивалентная задача приложения площадей [17].

Исторически сложилось так, что существовали два
подхода к решению геометрических задач, относящихся к вычислению площадей
прямолинейных фигур, то есть с помощью:

1) метода разложения (разбиения), который основывался
на понятии равновеликости и равносоставленности. Данный метод был известен уже
в Древней Греции и Древнем Китае. Суть метода заключалась в том, что фигуру
разбивали на конечное число частей, чтобы из этих частей можно было составить
более простую фигуру, площадь которой можно было найти. То есть искомую фигуру
приводили к равновеликому квадрату и площадь этой фигуры сравнивали с
квадратом. Так же были доказаны в пифагорейской гетерии теоремы о
равновеликости параллелограмма (ромба) и прямоугольника, треугольника и
параллелограмма, трапеции и треугольника и др. А.Е. Малых и др. отмечают, что в
современной школе данные теоремы доказываются аналогично.

2) метода дополнения (или позже названого
аналитическим), представляющего собой последовательность правил для решения
задач. Суть метода заключалась в том, что рассматриваемые фигуры дополняли до
равных между собой фигур. С помощью данного метода были доказаны многие
теоремы, в том числе и теорема Пифагора [18].

По мнению А.Е. Малых, при изучении пифагорейцами
способов вычисления площадей геометрических фигур заметное место занимало
преобразование в равновеликие фигуры [12]. Основа его являлась теорема о
равновеликости треугольников с одним и тем же основанием и равными высотами,
опущенными на это основание.

В сочинении Архимеда «Об измерении длины окружности»
рассматривается вопрос об определении площади и длины окружности круга, а в
трактате «О шаре и цилиндре» — о поверхностях и объёмах тел, ограниченных
кривыми поверхностями; эти вопросы представляют первые геометрические задачи,
относящиеся к исчислению. И в настоящее время основной задачей исчисления
является нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной
фигуры (рис. 2) подразумевается предел, к которому стремится площадь вписанного
в фигуру многоугольника по мере увеличения числа его сторон, причём эти стороны
могут быть сделаны меньше всякого заранее заданного произвольно малого числа
[23]. Рисунок 2 – Криволинейная фигура

Основная идея вычисления площади произвольных
геометрических фигур состоит в следующем. Для начала, как посчитать площадь
прямоугольника, то есть как доказать, что его площадь — это произведение длины
на ширину. Если речь идёт о геометрии, где все построения нужно делать с
помощью циркуля и линейки, то в такой геометрии, отношение длины к ширине есть
число рациональное, то есть если длину принять за единицу, то ширина может быть
выражена в качестве дроби m/n, где m и n натуральные числа. Для такого
прямоугольника можно подобрать такой «единичный квадратик», который полностью
покроет такой прямоугольник.

Сторону «единичный квадратик» можно подобрать как d =
НОД(m, n), где d — натуральное число. Например, если мы имеем прямоугольник
длиной 10 см и шириной 14 см, то такой прямоугольник может быть построен при
помощи циркуля и линейки (если длину принять за единицы, его ширина будет 14 /
10 = 7/5) [25].

В качестве стороны «единичного квадратика» можно взять
d = НОД(14, 10) = 2 см. Этот квадратик войдёт 5 раз в длину и 7 в ширину, всего
нужно 5 × 7 = 35 таких «единичных квадратиков». Можно взять квадраты со
стороной 1 см. Этот квадратик войдёт 10 раз в длину и 14 в ширину, всего нужно
10 × 14 = 140 таких «единичных квадратиков». Из этого построения видно, что
размерность не играет никакой существенной роли при таком построении.

Площадь прямоугольного треугольника можно посчитать,
если заметить, что если отложить точно такой же треугольник рядом, то получится
прямоугольник. Так как мы удвоили площадь треугольника, то площадь треугольника
является половиной площади прямоугольника. Площадь параллелограмма определяется
аналогичным, чуть более сложным образом, через площади прямоугольника и
треугольника. Площадь многоугольников определяется при помощи площади
треугольников [26].

Таким образом, уже 4-5 тысяч лет назад были известны
формулы для измерения площадей прямоугольника, треугольника, произвольного
четырехугольника, трапеции. Формулы для вычисления площади фигур в древности
отличались от формул, изучаемых сегодня в школьном курсе геометрии. Только
древние египтяне для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции
пользовались аналогичными приемами, что и мы. У всех народов, кроме древних
китайцев, единицей измерения площади была площадь квадрата со стороной, равной
единице длины. До нашего времени дошла древнейшая задача Дидоны, которая до сих
пор изучается в школьном курсе геометрии в классах с углубленным изучением
математики. Использовались два метода решения геометрических задач – метод
разложения и метод дополнения, которыми мы пользуемся и в настоящее время.