Аттестационная работа (ИАР/ВАР) на тему Методика решения задач методом от противоположного в старшей школе

Содержание:

Введение 3

Глава 1. Метод от противоположного (МОП) как один из трёх методов доказательства математических теорем 6

1.1. Определение и область применения МОП 6

1.2. Алгоритм применения МОП. Примеры 10

Глава 2. Методические аспекты использования МОП при решении задач в старшей школе 19

2.1. Методические рекомендации по использованию МОП при решении задач в старшей школе 19

2.2. Примеры теорем, доказываемых МОП 31

2.3. Примеры задач, решаемых МОП 37

2.4. Разработка конспекта урока на основе использования МОП 42

Заключение 51

Список литературы 53

Введение:

Актуальность исследования. Математика – это наука об измерениях, числах и пространстве, являющаяся одной из первых наук, над развитием которой трудятся различные ученые и педагоги. Математика жизненно важна в нашем современном мире. Именно математика помогает лучше понять мир и обеспечивает эффективное интеллектуальное развитие. Кроме того, математические знания играют решающую роль в понимании содержания других школьных предметов.

Основу для научного мировоззрения школьника и его системы научных знаний составляют освоенные им знания. Все математические законы и теоретические сведения из математики строятся на математических понятиях. Процесс усвоения методики решения математических задач тесно связан с процессами мышления и с другими познавательными процессами.

Особое место в школьном курсе математики занимают теоремы и методы их доказательства. В настоящее время доказательство теорем в математике является трудным для большинства учащихся, школьники не всегда могут обосновать все утверждения и привести необходимые доводы. В связи с такими сложностями учащимся становится сложно решать соответствующие задачи на основе доказательств, они часто опускают эту часть и выполняют только вычисления, что часто приводит к неверному решению.

В современной методике обучения математике основной упор делается на решении познавательных задач, которые предполагают использование различных теорем и их доказательств. Однако для успешного усвоения математики учащимся важно не только владеть необходимым объемом математических знаний и теорем, но и иметь представления о методах их непосредственного доказательства. Одним из таких методов является метод от противоположного (МОП) или метод от противного. Перспективным направлением развития методики обучения математики является выбор данного метода, который позволит показать учащимся взаимосвязь между теоремами и решением задач.

Метод от противоположного успешно применяется на протяжении всего курса математики, начиная со средних классов. Однако, несмотря на частое использование метода от противоположного при решении математических задач и при доказательстве теорем, данный метод не находит должного применения в курсе алгебры и геометрии в старшей школе. Дети, обучающие в старшей школе, различны не только по своему темпераменту, но и по уровню психического развития. Для одних учение дается легко, другим надо серьезно потрудиться освоить учебный материал. Чувство постоянного страха перед плохой оценкой, неверного ответа приводит ребенка к потере школьной мотивации. Для эффективного построения учебного процесса важно выбирать оптимальные средства и методы обучения школьников.

Современный урок должен быть результатом творческой деятельности не только педагога, но и обучающихся. Достигнуть данной цели можно за счет внедрения в образовательный процесс современных педагогических технологий. Следовательно, в основе современных технологий, используемых на уроках, должен быть заложен принцип высокой мотивации и активизации познавательной активности учащихся.

Современные и инновационные технологии и их применение в образовании рассматривали такие авторы, как и И.А. Баландин, А.Н. Панфилов, Т.Г. Мухина, Т.С. Панина, С.Б. Ступина, К.Р. Хачатурова, М. В. Шершнева, Н.Ю. Куликова и многие другие.

Однако, несмотря на большую распространенность современной техники и современных технологий в настоящее время не все педагоги владеют достаточным уровнем подготовки для реализации инновационных технологий при обучении математике в школе и данный процесс не всегда обеспечен необходимым методическим и дидактическим материалом. Исходя из этого, становится актуальным рассмотреть этот вопрос в рамках данного исследования.

Использование метода от противоположного при решении математических задач позволит успешно развить мышление и кругозор учащихся старших классов. Данный метод может быть успешно применен при решении как геометрических, так и алгебраических задач.

Исходя из всего вышесказанного, тема данной работы является актуальной.

Объект исследования: методика обучения математике.

Предмет исследования: методика решения задач методом от противоположного в старшей школе.

Цель исследования: теоретически обосновать и разработать методику решения задач методом от противоположного в старшей школе.

Задачи исследования:

1. Изучить определение и область применения МОП.

2. Рассмотреть алгоритм применения МОП и привести примеры.

3. Разработать методические рекомендации по использованию МОП при решении задач в старшей школе .

4. Представить примеры теорем, доказываемых МОП.

5. Представить примеры задач, решаемых МОП .

6. Представить разработку конспекта урока на основе использования МОП.

Методы исследования: анализ научной и методической литературы по проблеме исследования, изучение различных интернет источников, анализ методических материалов по проблеме, синтез изученного материала, обобщение полученных данных, классификация, обобщение педагогического опыта по проблеме исследования, сравнение.

Структура работы. Данное исследование включает введение, две главы, заключение и список литературы.

Заключение:

В ходе проведения исследования были решены следующие задачи и сделаны следующие выводы:

1. Изучено определение и область применения метода от противоположного (МОП). Можно отметить, что доказательство математических теорем методом от противоположного в логике и математике – это доказательство, которое определяет истинность утверждения, предполагая, что утверждение ложно, а затем работает, чтобы показать его ложность, пока результатом этого предположения не станет противоречие. Использование метода от противоположного в настоящее время можно наблюдать в медицине, в различных научных исследованиях и в статистике. В школьном курсе математики МОП используется достаточно часто. С использованием данного метода в курсе математики доказываются различные теоремы. Вместе с тем, данный метод часто применяется в решении текстовых задач, задач по геометрии и алгебре.

2. Рассмотрен алгоритм применения МОП и привести примеры. Были рассмотрены особенности алгоритма применения МОП при доказательстве различных математических теорем и при решении математических задач. Данный алгоритм подразумевает следующее. На первом этапе предполагается противоположное заключение. Пока допущение противоречит предпосылкам, просто используют допущения для получения новых следствий. Далее приходим к выводу, наше предположение ложно и что означает, что первоначальный вывод верен.

3. Разработаны методические рекомендации по использованию МОП при решении задач в старшей школе. Нами были представлены методические рекомендации по использованию МОП при решении математических задач в старшей школе. Можно сделать вывод, что различные цифровые образовательные ресурсы при изучении МОП при решении математических задач в старшей школе могут быть использованы в качестве средства для демонстрации материала, в качестве информационного источника, в качестве источника для интерактивных заданий, для демонстрации видеороликов. .

4. Были представлены примеры различных математических теорем, которые могут быть доказаны с помощью метода от противоположного. Данные теоремы рассматриваются в курсе математики старшей школы.

5. Представлены примеры задач, решаемых МОП .

6. Представлена разработка конспекта урока на основе использования МОП. Применение цифровых образовательных ресурсов способствуют повышению не только мотивации у обучающихся к математике, но и повышению качества их обученности. Цифровые образовательные ресурсы позволяют обучающимся не только получать новые знания, но и развивать коммуникативные умения: умение выслушивать мнение другого, оценивать разные точки зрения, участвовать в дискуссии.

Фрагмент текста работы:

Глава 1. Метод от противоположного (МОП) как один из трёх методов доказательства математических теорем

1.1. Определение и область применения МОП

Теоремы являются строительными блоками математики. При этом с каждой новой теоремой раскрывается все содержание математики. Однако, даже после того, как теорема доказана, ученые и исследователи продолжают искать лучшие способы доказательства существующих теорем .

К настоящему времени известна целая область исследований, посвященная различным доказательствам, поэтому методы математических доказательств продолжают развиваться уже на протяжении долгих лет. Доказательства впервые стал использоваться еще во времена Древней Греции [29].

В тот период они в основном применялись при изучении геометрии. Несколько столетий спустя Евклидом были введены аксиоматические доказательства, которые были основаны на существующих аксиомах («истинах»). Такие доказательства лежат в основе большинства современных доказательств [1].

Развитие алгебры в средневековье позволило получить более общие доказательства, не опирающиеся на геометрию, что позволило математикам легче доказывать существующие теоремы .

Вне зависимости от вида доказательства, они могут опираться на базовую логическую структуру, построенную на утверждениях, которые или истинны, или ложны. Более сложные «составные предположения» могут быть построены из отдельных предложений. Логическая структура помогает разложить сложные утверждения на более мелкие предложения, что позволяет подойти к доказательству более методологически .

Среди различных методов доказательства (прямого, противопоставления, обратного) доказательство от противоположного является методом, который является наиболее рациональным и интересным [2].

Однако также некоторые утверждения намного лучше доказываются более прямыми методами .

Метод доказательства от противоположного восходит к средневековому периоду, в котором одним из первых его использовал Ибн аль-Хайсам (965–1039 гг.) .

Метод доказательства от противоположного (МОП) является одним из используемых методов доказательства теорем в математике (они также включают метод индукции и прямой метод) .

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме [21; 30; 34].

«Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче» .

«При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему» .

Доказательство математической теоремы от противоположного или МОП отличается от других методов доказательств, которые используются в математике [23].

Вместо того, чтобы доказывать истинность некоторого утверждения, МОП предполагает, что утверждение ложно и это приводит к определенному противоречию. Для этого метода требуется утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Если это не так, то нельзя использовать доказательство методом от противоположного .